2015-湖北卷理-04 单-正态密度曲线

本题导读

本题考查正态分布密度曲线的性质。重点是通过图像观察正态分布的两个核心参数：均值 $\mu$（决定对称轴位置）和标准差 $\sigma$（决定曲线的“胖瘦”程度），并利用这些性质判断概率大小。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 设 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 ()

A. $P(Y\ge {\mu }_2)\ge P(Y\ge {\mu }_1)$

B. $P(X\le {\sigma }_2)\le P(X\le {\sigma }_1)$

C. 对任意正数 $t$，$P(X\le t)\ge P(Y\le t)$

D. 对任意正数 $t$，$P(X\ge t)\ge P(Y\ge t)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $\mu$ 的影响：正态曲线关于直线 $x=\mu$ 对称。从图中观察对称轴的位置，可知 ${\mu }_1<{\mu }_2$。
2. 分析 $\sigma$ 的影响：$\sigma$ 越小，曲线越“瘦高”，峰值越高；$\sigma$ 越大，曲线越“矮胖”，数据越分散。从图中观察可知 ${\sigma }_1<{\sigma }_2$。
3. 判定概率关系：
   • 选项 A：由对称性知 $P(Y\ge {\mu }_2)=0.5$。由于 ${\mu }_1<{\mu }_2$，则 $P(Y\ge {\mu }_1)>0.5$。故 A 错误。
   • 选项 C：由于 $X$ 的分布比 $Y$ 更靠左（${\mu }_1<{\mu }_2$）且更集中（${\sigma }_1<{\sigma }_2$），对于同一个正数 $t$，曲线 $X$ 在 $t$ 左侧覆盖的面积（概率）总是大于或等于曲线 $Y$ 在 $t$ 左侧覆盖的面积。
   • 选项 D：同理，由于 $Y$ 整体偏右，其在右侧的面积更大。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定参数关系 由正态密度曲线的性质可知：

1. 曲线关于 $x=\mu$ 对称。观察图象，$X$ 的对称轴在 $Y$ 的对称轴左侧，故 ${\mu }_1<{\mu }_2$。

2. 峰值处 $f(\mu )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$。观察图象，$X$ 的峰值更高，说明 ${\sigma }_1$ 更小，即 ${\sigma }_1<{\sigma }_2$。

第二步：逐项判断

• A 项：$P(Y\ge {\mu }_2)$ 是 $Y$ 曲线对称轴右侧的面积，恒等于 $0.5$。因为 ${\mu }_1<{\mu }_2$，所以 ${\mu }_1$ 在对称轴左边，则 $P(Y\ge {\mu }_1)$ 包含了 $0.5$ 及其左边的一段面积，即 $P(Y\ge {\mu }_1)>0.5$。故 $P(Y\ge {\mu }_2)<P(Y\ge {\mu }_1)$，A 错误。
• C 项：由于 ${\mu }_1<{\mu }_2$ 且 ${\sigma }_1<{\sigma }_2$，说明随机变量 $X$ 取较小值的概率更大，整体分布偏左。对于任意正数 $t$，$X$ 落入 $(-\infty ,t]$ 的可能性（即曲线与 $x$ 轴在 $t$ 左侧围成的面积）始终大于或等于 $Y$。故 $P(X\le t)\ge P(Y\le t)$ 正确。
• D 项：同理，由于 $Y$ 分布偏右且更分散，在右侧的概率更大，即 $P(Y\ge t)\ge P(X\ge t)$。D 错误。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：
  1. 对称性：$\mu$ 决定位置。$P(X\le \mu )=P(X\ge \mu )=0.5$。
  2. 离散程度：$\sigma$ 决定形状。$\sigma$ 越小越集中。
• 避坑指南：不要混淆峰值高低与 $\sigma$ 大小的反比关系。
• 图像法：处理此类问题，想象曲线下的面积分布是最直观的方式。


📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(\mu -\sigma <X\le \mu +\sigma )\approx 0.6826$。
• 方法推广: 在对比两个不同正态分布的概率时，将其标准化为 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$ 是更严谨的代数处理方法。
• 相关知识点: 正态分布的“$3\sigma$”原则、标准正态分布表。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 23.05 正态分布
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-04 单-回归分析
• 2013年湖北卷理-16
• 2010-湖北卷理-21