2018-北京卷理-11 填-三角函数性质

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及正余弦函数的最值。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）设函数 $f(x)=\cos (\omega x-\frac{\pi }{6})(\omega >0)$，若 $f(x)\le f(\frac{\pi }{4})$ 对任意的实数 $x$ 都成立，则 $\omega$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化条件：$f(x)\le f(\frac{\pi }{4})$ 恒成立，说明 $f(\frac{\pi }{4})$ 是函数 $f(x)$ 的最大值。
2. 利用余弦性质：对于 $y=\cos u$，当 $u=2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 时取得最大值 1。
3. 建立方程：令 $\omega \cdot \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=2k\pi$。
4. 求 $\omega$ 最小值：由于 $\omega >0$，分析 $k$ 的取值（通常从 $k=0,1,\dots$ 开始尝试），找到最小的正数 $\omega$。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{2}{3}$

【解析过程】 由题意知，当 $x=\frac{\pi }{4}$ 时，$f(x)$ 取得最大值。 对于余弦函数 $f(x)=\cos (\omega x-\frac{\pi }{6})$，其取得最大值的充要条件是相位： $\omega \cdot \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 整理得： $\frac{\omega \pi }{4}=2k\pi +\frac{\pi }{6}$ 两边同时除以 $\pi$ 并乘以 4： $\omega =8k+\frac{4}{6}=8k+\frac{2}{3}$ 因为 $\omega >0$，取 $k=0$ 时，$\omega$ 取得最小值： ${\omega }_{min}=\frac{2}{3}$

故填入：$\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “最大值”的隐含表达：看到 $f(x)\le f(x_0)$ 就要联想到 $x_0$ 是对称轴（波峰），如果是 $f(x)\ge f(x_0)$ 则是波谷。
2. 相位分析法：这是解决三角函数给点求参数最稳妥的方法。直接令 $\omega x+\varphi =2k\pi$（最大）或 $2k\pi +\pi$（最小）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便复习：

• 对称轴：$\sin u,\cos u$ 取得最值处。
• 对称中心：$\sin u,\cos u$ 取得零点（交点）处。
• 恒成立不等式：$|f(x)|\le A$ 意味着 $A$ 必须不小于振幅。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷理-17 解-五点法作图
• 2012年山东卷理-5
• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象