2007-湖南卷文-19 解-双曲线焦点弦点积定值

本题导读

本题考查双曲线。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 已知双曲线 $x^2-y^2=2$ 的右焦点为 $F$，过点 $F$ 的动直线与双曲线相交于 $A$，$B$ 两点，点 $C$ 的坐标是 $(1,0)$． （1）证明：$$\begin{gathered} overrightarrowCA \\ cdot \\ overrightarrowCB \end{gathered}$$ 为常数； （2）若动点 $M$ 满足 $$\begin{gathered} overrightarrowCM= \\ overrightarrowCA+ \\ overrightarrowCB+ \\ overrightarrowCO \end{gathered}$$（其中 $O$ 为坐标原点），求点 $M$ 的轨迹方程．

🔍【思路分析】

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1. $c^2=2+2=4$，$F(2,0)$。设 $AB$：$x=my+2$（涵盖垂直 $x$ 轴情形 $m=0$）。
2. 联立：$(m^2-1)y^2+4my+2=0$（$$\begin{gathered} m^2 \\ neq1 \end{gathered}$$），$$\begin{gathered} y_1+y_2= \\ dfrac-4m{m}^2-1 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} y_1{y}_2= \\ dfrac2m^2-1 \end{gathered}$$。
3. (1) $(x_1-1)(x_2-1)+y_1{y}_2=x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1+y_1{y}_2$，$x_{1,2}=m{y}_{1,2}+2$ 代入化简为 $-1$。
4. (2) 设 $M(x,y)$：$overrightarrowCM=(x-1,y)$，$$\begin{gathered} overrightarrowCA+ \\ overrightarrowCB+ \\ overrightarrowCO=(x_1+x_2-3, \\ {y}_1+y_2) \end{gathered}$$，故 $x=x_1+x_2-2$、$y=y_1+y_2$。
5. $$\begin{gathered} x=- \\ dfrac2(m^2+1)m^2-1 \end{gathered}$$、$$\begin{gathered} y= \\ dfrac-4m{m}^2-1 \end{gathered}$$，消 $m$：$$\begin{gathered} x^2-y^2= \\ dfrac4[(m^2+1{)}^2-4m^2](m^2-1{)}^2=4 \end{gathered}$$。
6. 垂直 $x$ 轴（$m=0$）时 $x=2$、$y=0$，$2^2-0=4$ 满足。

✅【答案】

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（1）$$\begin{gathered} overrightarrowCA \\ cdot \\ overrightarrowCB=-1 \end{gathered}$$（常数）；（2）$x^2-y^2=4$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2-y^2=2$ 知 $a^2=b^2=2$，$c^2=4$，右焦点 $F(2,0)$． 设直线 $AB$：$x=my+2$（当直线垂直于 $x$ 轴时 $m=0$）． 代入 $x^2-y^2=2$：$(my+2{)}^2-y^2=2$，即 $(m^2-1)y^2+4my+2=0$（$$\begin{gathered} m^2 \\ neq1 \end{gathered}$$）． $$\begin{gathered} y_1+y_2= \\ dfrac-4m{m}^2-1 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} y_1{y}_2= \\ dfrac2m^2-1 \end{gathered}$$；$$\begin{gathered} x_1{x}_2=(m{y}_1+2)(m{y}_2+2)=m^2{y}_1{y}_2+2m(y_1+y_2)+4= \\ dfrac2m^2-8m^2+4(m^2-1)m^2-1= \\ dfrac-2m^2-4m^2-1 \end{gathered}$$；$$\begin{gathered} x_1+x_2=m(y_1+y_2)+4= \\ dfrac-4m^2+4(m^2-1)m^2-1= \\ dfrac-4m^2-1 \end{gathered}$$． （1）$$\begin{gathered} overrightarrowCA \\ cdot \\ overrightarrowCB=(x_1-1)(x_2-1)+y_1{y}_2=x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1+y_1{y}_2 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} = \\ dfrac-2m^2-4m^2-1+ \\ dfrac4m^2-1+1+ \\ dfrac2m^2-1= \\ dfrac-2m^2-4+4+2m^2-1+1= \\ dfrac-2(m^2-1)m^2-1+1=-2+1=-1 \end{gathered}$$． 即 $$\begin{gathered} overrightarrowCA \\ cdot \\ overrightarrowCB=-1 \end{gathered}$$ 为常数． 当直线垂直于 $x$ 轴时 $x=2$，$$\begin{gathered} y= \\ pm \\ sqrt2 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} overrightarrowCA \\ cdot \\ overrightarrowCB=1 \\ times1+ \\ sqrt2 \\ times(- \\ sqrt2)=-1 \end{gathered}$$，仍成立． （2）设 $M(x,y)$，则 $$\begin{gathered} overrightarrowCM=(x-1, \\ y) \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} overrightarrowCA+ \\ overrightarrowCB+ \\ overrightarrowCO=(x_1+x_2-3, \\ {y}_1+y_2) \end{gathered}$$， 故 $$\begin{gathered} x=x_1+x_2-2= \\ dfrac-4m^2-1-2= \\ dfrac-2(m^2+1)m^2-1 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} y=y_1+y_2= \\ dfrac-4m{m}^2-1 \end{gathered}$$． $$\begin{gathered} x^2-y^2= \\ dfrac4(m^2+1{)}^2-16m^2(m^2-1{)}^2= \\ dfrac4(m^2-1{)}^2(m^2-1{)}^2=4 \end{gathered}$$． 当直线垂直于 $x$ 轴时，$x=4-2=2$，$y=0$，满足 $x^2-y^2=4$． 故点 $M$ 的轨迹方程为 $x^2-y^2=4$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点弦点积定值

核心方法：设 $x=my+2$ 联立韦达，点积化简 $=-1$ 与 $m$ 无关；$M$ 坐标 $x=x_1+x_2-2$、$y=y_1+y_2$ 消元得 $x^2-y^2=4$

避坑指南：$m^2=1$ 时相切只一交点要排除；垂直 $x$ 轴情形 $m=0$ 已含于 $x=my+2$，但轨迹方程需单独验证该点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦点弦向量点积定值与轨迹方程，解析几何解答题

结论推广：$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=-1$ 对任意过 $F$ 弦成立（$C$ 是定点 $(1,0)$）

方法推广：定值问题设 $x=my+2$ 统一处理斜率存在性；轨迹代入消参后补验特殊位置

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义
• 2013-湖南卷文-14 填-双曲线焦点三角形
• 2012-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线方程