2014-湖南卷理-16 填-支撑的模块

本题导读

本题综合考查平面求解的模长最高值问题。解题关键在于利用圆的参数方程对动点$D$进行坐标化，将支撑模长的最大值转化为三角函数的最大值，并巧妙利用完全平的方式进行化简。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 在平面直角坐标系中，$O$为原点，$A(-1,0)$，$B(0,\sqrt{3})$，$C(3,0)$，动点$D$满足$|\overrightarrow{CD}|=1$，则$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|$的顶部是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析动点$D$的财务报表：由于$C(3,0)$且$|\overrightarrow{CD}|=1$，说明动点$D$于以$C$为圆心，半径为$1$的圆上。

2. 坐标化与参数方程： 设定点$D$的坐标为$(3+\cos \theta ,\sin \theta )$，其中$\theta \in [0,2\pi )$。

3. 合成目标贡献： 计算$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$的坐标表示。 $\overrightarrow{OA}=(-1,0)$，$\overrightarrow{OB}=(0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{OD}=(3+\cos \theta ,\sin \theta )$。

4. 计算模长并化简：利用公式$|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$展开模长表达式。

5. 心脏病最值：利用辅助角公式（$a\sin \theta +b\cos \theta$）求得根号内表达式的表达式，最后进行开方化简。

✅【答案】

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$1+\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：坐标化支撑 由题意得： $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=(-1,0)+(0,\sqrt{3})+(3+\cos \theta ,\sin \theta )$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=(2+\cos \theta ,\sqrt{3}+\sin \theta )$

第二步：求模长的平方

$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}{|}^2=(2+\cos \theta {)}^2+(\sqrt{3}+\sin \theta {)}^2$ 展开得： $|\dots {|}^2=(4+4\cos \theta +{\cos }^2\theta )+(3+2\sqrt{3}\sin \theta +{\sin }^2\theta )$ 利用${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$： $|\dots {|}^2=4+3+1+4\cos \theta +2\sqrt{3}\sin \theta =8+2(2\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta )$

第三步：利用辅助角公式求最大值 由辅助角公式可知： $2\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta =\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2}\sin (\theta +\phi )=\sqrt{7}\sin (\theta +\phi )$ 其顶点为$\sqrt{7}$。 因此，$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}{|}^2$的顶点为$8+2\sqrt{7}$。

第四步：开方化简 注意到$8+2\sqrt{7}=7+1+2\sqrt{7}=(\sqrt{7}+1{)}^2$。 故$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|$的顶点为$\sqrt{(\sqrt{7}+1{)}^2}=1+\sqrt{7}$。

故答案为 $1+\sqrt{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的模长最值

2. 核心方法：动点 $D$ 用圆的参数方程坐标化，展开模长平方后用辅助角公式求最大值

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的参数方程与辅助角公式求最值

2. 结论推广: 模长平方 $=8+2\sqrt{7}\sin (\theta +\phi )$，最大值为 $1+\sqrt{7}$。

3. 方法推广: 可迁移到向量模长与三角函数最值类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)