2015-湖南卷理-16B 解-极坐标参数方程

本题导读

本题考查极坐标方程向直角坐标方程的转化，以及利用直线参数方程中参数 $t$ 的几何意义解决点到交点距离乘积的问题。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 已知直线 $l:\{\begin{array}{l}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}$ ($t$ 为参数)，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho =2\cos \theta$.

(1) 将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2) 设点 $M$ 的直角坐标为 $(5,\sqrt{3})$，直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $A,B$，求 $|MA|\cdot |MB|$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（方程互化）：利用基本转换公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$，$\rho \cos \theta =x$。通过在极坐标方程两边同时乘以 $\rho$，实现向直角坐标形式的快速转化。
2. 第二问（参数应用）：
   • 观察定点与方向：直线 $l$ 经过定点 $M(5,\sqrt{3})$，且参数 $t$ 前的系数平方和为 $(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^2=1$，说明该方程为直线的标准参数方程。
   • 利用几何意义：在标准参数方程中，$|t|$ 的几何意义是直线上动点到定点 $M$ 的距离。
   • 联立求解：将直线的参数方程代入圆 $C$ 的直角坐标方程，得到关于 $t$ 的一元二次方程。
   • 应用韦达定理：根据 $|MA|\cdot |MB|=|t_1\cdot t_2|$，直接利用方程的常数项求解。

✅【答案】

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所以： $|MA|\cdot |MB|=18$

✍【详细解析】

Abstract

（1）极坐标方程化为直角坐标方程 由 $\rho =2\cos \theta$ 得： ${\rho }^2=2\rho \cos \theta$ 将 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $\rho \cos \theta =x$ 代入上式，得曲线 $C$ 的直角坐标方程为： $x^2+y^2=2x$ 即： $x^2+y^2-2x=0$

（2）求 $|MA|\cdot |MB|$ 的值 直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}$。 注意到直线经过点 $M(5,\sqrt{3})$，且该方程为标准参数方程（方向向量为单位向量）。 将直线参数方程代入曲线 $C$ 的方程 $x^2+y^2-2x=0$ 中： $(5+\frac{\sqrt{3}}{2}t{)}^2+(\sqrt{3}+\frac{1}{2}t{)}^2-2(5+\frac{\sqrt{3}}{2}t)=0$ 展开得： $(25+5\sqrt{3}t+\frac{3}{4}{t}^2)+(3+\sqrt{3}t+\frac{1}{4}{t}^2)-10-\sqrt{3}t=0$ 整理合并同类项得： $t^2+5\sqrt{3}t+18=0$ 设直线 $l$ 与曲线 $C$ 的两个交点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$。 由参数 $t$ 的几何意义可知： $|MA|\cdot |MB|=|t_1|\cdot |t_2|=|t_1{t}_2|$ 由韦达定理可知，$t_1{t}_2=18$。 所以： $|MA|\cdot |MB|=18$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标向直角坐标转换的技巧（乘 $\rho$ 凑 ${\rho }^2$）；直线参数方程标准形式的判定及参数几何意义的应用。
• 避坑指南：使用几何意义 $|t_1{t}_2|$ 或 $|t_1-t_2|$ 之前，必须检查参数 $t$ 前面的系数平方和是否为 1。如果不为 1（非标准形式），计算结果会存在偏差。
• 在解析几何中，涉及点到交点的距离问题，使用参数方程往往比直接解交点坐标或使用弦长公式更加简洁。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若要求弦长 $|AB|$，则根据几何意义可得 $|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2{)}^2-4t_1{t}_2}$。
• 变式思考: 如果点 $M$ 在圆内，则 $t_1,t_2$ 异号，$|MA|\cdot |MB|=|t_1{t}_2|$ 依然成立，但计算 $|MA|+|MB|$ 时应取 $|t_1-t_2|$。
• 相关知识点: 圆的参数方程、极坐标下的弦长计算、直线与圆的位置关系判别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-16 填-支撑的模块
• 2014-湖南卷理-11 填-参数方程互化
• 2013年湖南卷理-9