2014-江西卷理-16 填-离心率

本题导读

本题考查椭圆的离心率计算。核心在于利用“点差法”处理中点弦问题，建立直线斜率、中点坐标与椭圆长短轴平方比之间的关系，从而求得离心率。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 过点 $M(1,1)$ 作斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线与椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 相交于 $A,B$，若 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别模型：题目涉及弦的中点及弦所在直线的斜率，是典型的“中点弦”问题。
2. 应用点差法：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，代入椭圆方程并作差，得到关于斜率 $k_{AB}$ 与中点 $M(x_M,y_M)$ 的关系式：$k_{AB}=-\frac{b^2{x}_M}{a^2{y}_M}$。
3. 建立比例关系：代入已知数据求出 $a^2$ 与 $b^2$ 的关系。
4. 求离心率：利用公式 $c^2=a^2-b^2$ 和 $e=\frac{c}{a}$ 计算结果。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用点差法推导关系式 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。由于 $A,B$ 在椭圆上： $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$ ① $\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$ ② ① - ② 得：$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0$。

因为 $M(1,1)$ 是 $AB$ 的中点，所以 $x_1+x_2=2x_M=2$，$y_1+y_2=2y_M=2$。 又直线 $AB$ 的斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{1}{2}$。 代入上式得： $\frac{2}{a^2}+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{2}{b^2}=0⟹\frac{2}{a^2}=\frac{1}{b^2}⟹a^2=2b^2$。

第二步：计算离心率 由 $a^2=2b^2$ 可知： $c^2=a^2-b^2=2b^2-b^2=b^2$。 则 $a^2=2c^2$，即 ${\left(\frac{c}{a}\right)}^2=\frac{1}{2}$。 所以离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆中点弦的点差法与离心率的计算。

2. 核心方法：点差法。这是处理圆锥曲线弦中点问题的“万金油”，避开了繁琐的联立方程及判别式计算。

3. 避坑指南：注意离心率 $e<1$。若计算出 $e>1$，应检查 $a^2$ 与 $b^2$ 的大小关系是否颠倒，或 $a,b,c$ 之间的关系式是否有误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 离心率的取值范围与曲线形状的关系（$e$ 越接近 1 椭圆越扁）。

2. 结论推广: 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，中点弦满足 $k_{弦}\cdot k_{OM}=\frac{b^2}{a^2}$。

3. 方法推广: 遇到“中点”、“斜率”并存的几何条件，应第一时间联想点差法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

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• 2023-新高考I卷-05 单-椭圆离心率
• 2015-福建卷文-11 单-椭圆离心率