2015-福建卷理-02 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查基本初等函数奇偶性的判定。解题核心在于熟练掌握奇函数 $f(-x)=-f(x)$ 与偶函数 $f(-x)=f(x)$ 的定义，并注意定义域是否关于原点对称这一前提条件。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 下列函数为奇函数的是 ()

A. $y=\sqrt{x}$　　　B. $y=|\sin x|$　　　C. $y=\cos x$　　　D. $y=e^x-e^{-x}$

🔍【思路分析】

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1. 定义域优先：判定奇偶性的前提是定义域关于原点对称。
2. 应用定义：
   • 奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$，图象关于原点对称。
   • 偶函数满足 $f(-x)=f(x)$，图象关于 $y$ 轴对称。
3. 逐项排除：结合基本初等函数的图象或代数式进行验证。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定定义域

• A项：$y=\sqrt{x}$ 的定义域为 $[0,+\infty )$，不关于原点对称，故为非奇非偶函数。

第二步：判定各项奇偶性

• B项：设 $f(x)=|\sin x|$，定义域为 $\mathbb{R}$。 $f(-x)=|\sin (-x)|=|-\sin x|=|\sin x|=f(x)$。 满足偶函数定义，故为偶函数。

• C项：设 $f(x)=\cos x$，定义域为 $\mathbb{R}$。 $f(-x)=\cos (-x)=\cos x=f(x)$。 满足偶函数定义，故为偶函数。

• D项：设 $f(x)=e^x-e^{-x}$，定义域为 $\mathbb{R}$。 $f(-x)=e^{-x}-e^{-(-x)}=e^{-x}-e^x=-(e^x-e^{-x})=-f(x)$。 满足奇函数定义，故为奇函数。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心陷阱：忽略定义域。如 $y=x^2,x\in [0,1]$ 既不是奇函数也不是偶函数。
2. 记忆技巧：
   • $\sin x,x,x^3,\tan x$ 是常见的奇函数基石。
   • $\cos x,x^2,|x|$ 是常见的偶函数基石。
   • 奇 $\pm$ 奇 $=$ 奇，偶 $\pm$ 偶 $=$ 偶。
3. 图象特征：奇函数图象过原点（若 $0$ 在定义域内）且关于原点中心对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 对于 D 项这种形式 $f(x)=a^x-a^{-x}$，它是典型的奇函数构造；而 $g(x)=a^x+a^{-x}$ 则是典型的偶函数构造。
• 变式思考: 若函数 $f(x)=\ln (\sqrt{x^2+1}+x)$，它的奇偶性如何？ (提示：利用 $f(x)+f(-x)=0$ 验证，它是高考中非常经典的一类奇函数。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练(Links)

• 2014-福建卷理-07 单-分段函数的解析式与图象
• 2014-福建卷理-14 填-面积型几何概型
• 2014-福建卷理-04 单-对数函数及其性质