2015-福建卷理-06 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的逻辑执行过程。解题关键在于准确模拟每一次循环中变量 $S$ 和 $i$ 的数值变化，并结合余弦函数的周期性（周期为 4）进行计算，最终根据判断框的条件确定退出循环的时机。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 ()

A. 2　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 0　　　　　　　D. -1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化：初始变量 $i=1$，$S=0$。
2. 理解逻辑：程序进入循环，先计算 $S$ 的累加值，然后更新 $i$ 为 $i+1$，最后经过判断框 $i>5$。如果条件为“否”，回到累加步骤；如果为“是”，输出 $S$。
3. 模拟过程：逐步记录 $(S,i)$ 的变化。注意 $\cos \frac{i\pi }{2}$ 的值随 $i$ 的增加呈现 $0,-1,0,1$ 的周期性变化。
4. 确定终点：当 $i$ 的值增加到 6 时，满足 $i>5$，循环结束。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：逐步模拟程序运行

• 初始状态：$i=1,S=0$。

• 第 1 次循环： $S=0+\cos \frac{\pi }{2}=0+0=0$； $i=1+1=2$。 判断 $2>5$ 为“否”，继续循环。

• 第 2 次循环： $S=0+\cos \frac{2\pi }{2}=0+(-1)=-1$； $i=2+1=3$。 判断 $3>5$ 为“否”，继续循环。

• 第 3 次循环： $S=-1+\cos \frac{3\pi }{2}=-1+0=-1$； $i=3+1=4$。 判断 $4>5$ 为“否”，继续循环。

• 第 4 次循环： $S=-1+\cos \frac{4\pi }{2}=-1+1=0$； $i=4+1=5$。 判断 $5>5$ 为“否”，继续循环。

• 第 5 次循环： $S=0+\cos \frac{5\pi }{2}=0+0=0$； $i=5+1=6$。 判断 $6>5$ 为“是”，退出循环。

第二步：得出结论 输出 $S$ 的最终值为 0。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 循环结构的陷阱：本题属于“直到型”循环的变形，要注意 $S$ 的更新在 $i$ 的更新之前，且判断框判定的是更新后的 $i$。
2. 三角函数的周期性：$\cos \frac{n\pi }{2}$ 的取值序列为 $0,-1,0,1,0,-1\dots$，每 4 项为一个周期。发现前 4 项之和为 0 可以快速辅助判断。
3. 计算准确性：这种题目不难，但极易在 $i$ 的临界点（是输出 $i=5$ 时的 $S$ 还是 $i=6$ 时的 $S$）产生混淆。手动列表记录是最高效防错的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果判断条件改为 $i>100$，则可以利用周期性直接计算。由于前 4 项和为 0，$S_{100}=25\times 0=0$，再根据循环截止位置微调。
• 变式思考: 若将 $i=i+1$ 与 $S=S+\cos \frac{i\pi }{2}$ 的顺序调换，输出结果会发生什么变化？ (提示：此时第一项累加的是 $\cos \pi$ 而非 $\cos \frac{\pi }{2}$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2013年福建卷理-6
• 2013年福建卷理-13
• 2014-福建卷理-12 填-正弦定理与余弦定理的综合应用