2015-福建卷理-07 单-空间位置关系

本题导读

本题将立体几何中的线面关系与逻辑条件结合，重点考查对“线面垂直则垂直于面内所有直线”这一核心性质的理解。解题关键在于通过反例（直线在平面内）排除充分性，并利用性质定理验证必要性。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 若 $l,m$ 是两条不同的直线，$m$ 垂直于平面 $\alpha$，则“$l\perp m$”是“$l//\alpha$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析条件 $l\perp m$：已知 $m\perp \alpha$。若 $l\perp m$，根据垂直于同一条直线的线面关系，直线 $l$ 可能平行于平面 $\alpha$，也可能包含于平面 $\alpha$ 内。由于存在 $l\subset \alpha$ 的情况，无法唯一推导处 $l//\alpha$。
2. 分析条件 $l//\alpha$：若 $l//\alpha$，根据线面平行的性质，平面 $\alpha$ 内必存在一条直线 $l^{\prime }//l$。由于 $m\perp \alpha$，则 $m\perp l^{\prime }$。由平行线的传递性可知 $m\perp l$，即 $l\perp m$ 恒成立。
3. 判定逻辑关系：根据“左不推右，右可推左”的原则，确定条件的属性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定充分性（若 $l\perp m⟹l//\alpha$ ？） 已知 $m\perp \alpha$，若 $l\perp m$，则直线 $l$ 所在的平面与 $m$ 垂直，或 $l$ 落在与 $m$ 垂直的平面内。 因为 $m\perp \alpha$，所有与 $m$ 垂直的直线 $l$ 满足：$l//\alpha$ 或 $l\subset \alpha$。 由于当 $l\subset \alpha$ 时，条件 $l\perp m$ 成立但结论 $l//\alpha$ 不成立，故充分性不成立。

第二步：判定必要性（若 $l//\alpha ⟹l\perp m$ ？） 已知 $m\perp \alpha$，则 $m$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的所有直线。 若 $l//\alpha$，则在平面 $\alpha$ 内必能找到一条直线 $l^{\prime }//l$。 因为 $m\perp \alpha$，所以 $m\perp l^{\prime }$。 又因为 $l//l^{\prime }$，根据异面直线垂直或平行线垂直的性质，必有 $l\perp m$。 故结论能推导出条件，必要性成立。

第三步：得出结论 “$l\perp m$”是“$l//\alpha$”的必要而不充分条件。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 线面垂直的定义：直线与平面垂直，则该直线与平面内的任意一条直线都垂直。这是判断必要性的基石。
2. 易错陷阱：忽视直线在平面内的情况。在线面关系的判定中，一定要考虑“平行”与“包含”这两种并列的可能性。
3. 模型辅助：对于此类抽象的几何关系，可以借助**长方体（或教室）**的棱与面进行直观验证。例如将 $m$ 看作教室的一条铅垂棱，$\alpha$ 为地面，则与 $m$ 垂直的 $l$ 既可以是天花板上的灯管（平行），也可以是地面的地缝（包含）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以利用方向向量判定。设 $\vec{l},\vec{m}$ 为方向向量，$\vec{n}$ 为平面法向量。$m\perp \alpha ⟹\vec{m}//\vec{n}$。 若 $l//\alpha ⟹\vec{l}\perp \vec{n}⟹\vec{l}\perp \vec{m}⟹l\perp m$。
• 变式思考: 如果题目将“$m$ 垂直于平面 $\alpha$”改为“$m$ 平行于平面 $\alpha$”，结论会如何变化？

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练(Links)

• 2009-福建卷理-07
• 2014-福建卷理-06 单-充分条件、必要条件、充要条件
• 2007-福建卷理-08 单-面面平行判定