2015-福建卷理-08 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合中的“平均分组”问题。这是高中数学中的经典易错点，核心在于理解当组与组之间没有名称差异（无序）时，需要除以组数的全排列以消除重复计数。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案共有 ()

A. 18 种　　　　　B. 36 种　　　　　C. 54 种　　　　　D. 72 种

🔍【思路分析】

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1. 分析分配逻辑：4 个人分到 3 个地方，且每个地方至少 1 人。根据抽屉原理，分配的人数结构只能是 $2-1-1$ 型。
2. 两步走策略：
   • 第一步（分组）：先将 4 个人分成三组，人数分别为 2 人、1 人、1 人。
   • 第二步（分配）：将分好的三组分给 3 个不同的乡镇。
3. 消除重复：在第一步分组时，由于有两个组的人数相同（都是 1 人），且组与组之间暂时没有顺序，需要除以 $A_2^2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：将 4 人分为 2, 1, 1 三组 先从 4 人中选 2 人作为一组，剩下 2 人各成一组。 分组数 $N_1=\frac{C_4^2\cdot C_2^1\cdot C_1^1}{A_2^2}=\frac{6\times 2\times 1}{2}=6$（种）。

第二步：将三组分配到 3 个乡镇 这相当于将 3 个不同的元素（三组人）进行全排列。 分配数 $N_2=A_3^3=3\times 2\times 1=6$（种）。

第三步：计算总方案数 根据分步乘法计数原理： 总方案数 $N=N_1\times N_2=6\times 6=36$（种）。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 平均分组陷阱：这是排列组合最常考的细节。如果 $n$ 个元素分成 $k$ 个数量相等的无序小组，计数时必须除以 $A_k^k$。
2. “先组后排”思想：对于复杂的分配问题，先处理“如何分组”，再处理“组去哪里”，逻辑最清晰，不容易遗漏或重复。
3. 常见模型：
   • $n$ 异元素入 $m$ 异筐，每筐至少一个（先分组再排列）。
   • $n$ 同元素入 $m$ 异筐，每筐至少一个（隔板法）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展（先选后排法）: 也可以直接考虑：先从 3 个乡镇中选 1 个乡镇安排 2 人，方案数为 $C_3^1$；再从 4 人中选 2 人给该乡镇，方案数为 $C_4^2$；剩下的 2 人分给剩下的 2 个乡镇，方案数为 $A_2^2$。 总数 $=C_3^1\cdot C_4^2\cdot A_2^2=3\times 6\times 2=36$（种）。这种方法在处理“分配”问题时往往比纯分组法更快。
• 变式思考: 如果是将 5 名大学生分配到 3 个乡镇，每个乡镇至少一名，方案数是多少？ (提示：人数结构可能是 $3-1-1$ 或 $2-2-1$，需要分类讨论。)

🔗【关联脉络】

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• 待补

类题演练(Links)

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