2014-福建卷理-10 单-生成函数的应用

本题导读

本题是一道结合了新定义与排列组合的创新题。题目以多项式展开式的项来模拟取球的过程，本质上考查的是“生成函数（母函数）”的思想以及对于“有区别”和“无区别”元素组合方式的代数表达。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 用 $a$ 代表红球，$b$ 代表蓝球，$c$ 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 $(1+a)(1+b)$ 的展开式 $1+a+b+ab$ 表示出来，如：“$1$”表示一个球都不取、“$a$”表示取出一个红球，而“$ab$”表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()

A. $(1+a+a^2+a^3+a^4+a^5)(1+b^5)(1+c{)}^5$

B. $(1+a^5)(1+b+b^2+b^3+b^4+b^5)(1+c{)}^5$

C. $(1+a{)}^5(1+b+b^2+b^3+b^4+b^5)(1+c^5)$

D. $(1+a^5)(1+b{)}^5(1+c+c^2+c^3+c^4+c^5)$

🔍【思路分析】

破题导航

解决本题的关键是将“取球的具体要求”精确地翻译成“多项式因式的构造”。

1. 分析红球（无区别，任意取）：5个红球完全相同，取法只与取出的数量有关。可以取 $0,1,2,3,4,5$ 个，对应的代数表示为各项的和。
2. 分析蓝球（无区别，全取或不取）：5个蓝球完全相同，但限制条件是“要么全取，要么全不取”。这意味着只有两种极端状态：取 0 个或取 5 个。
3. 分析黑球（有区别，任意取）：5个黑球各不相同（相当于每个黑球都带编号）。对于每一颗特定的黑球，都有“取”与“不取”两种独立的选法。利用乘法原理，需要将每一颗黑球的选择单独用括号表示并相乘。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构造红球的因式 5个红球是“无区别”的，取出若干个只需看数量。可以取 $0,1,2,3,4,5$ 个红球。 “取 $k$ 个红球”用 $a^k$ 表示。 所以红球的取法对应的多项式因式为：$1+a+a^2+a^3+a^4+a^5$。

第二步：构造蓝球的因式 5个蓝球也是“无区别”的，但题目限制“所有的蓝球都取出或都不取出”。 即只能取 $0$ 个蓝球（用 $1$ 表示）或者取 $5$ 个蓝球（用 $b^5$ 表示）。 所以蓝球的取法对应的多项式因式为：$1+b^5$。

第三步：构造黑球的因式 5个黑球是“有区别”的（可视为黑球1、黑球2、…、黑球5）。 对于任意一个具体的黑球 $i$，我们有“不取”（用 $1$ 表示）和“取出”（用 $c$ 表示）两种选择，其因式为 $(1+c)$。 因为 5 个黑球各不相同，根据乘法原理，总取法为这 5 个独立选择的乘积： $\underset{\text{5个}}{\underbrace{(1+c)(1+c)\cdots (1+c)}}=(1+c{)}^5$。 (注：展开后为 $1+5c+10c^2+10c^3+5c^4+c^5$，系数正好对应从5个不同球中取 $k$ 个的组合数 $C_5^k$)

第四步：组合结论 根据乘法原理，从三类球中取出若干个球的总取法，就是将这三部分对应的多项式因式相乘： $(1+a+a^2+a^3+a^4+a^5)(1+b^5)(1+c{)}^5$。

对照选项，与选项 A 完全一致。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合与生成函数（母函数）思想

2. 核心方法：把取球限制翻译为多项式因式，无区别按数量取幂、有区别逐个乘 $(1+c)$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 生成函数（母函数）计数原理

2. 结论推广: 无区别球取法为 $1+x+\cdots +x^n$，有区别球为 $(1+x{)}^n$。

3. 方法推广: 可迁移到新定义、计数原理与二项式展开综合类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数
• 2015-山东卷文-08 单-奇函数
• 2015-上海卷文-04 填-反函数