2015-重庆卷理-18 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质。核心步骤是利用恒等变换将函数统一为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的形式，进而求出其周期、最值，并根据整体代换思想讨论其在给定区间上的单调性。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\sin x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期和最大值；

(2) 讨论 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的单调性.

🔍【思路分析】

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1. 函数化简：首先利用诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$。原式变为 $\sin x\cos x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x$。接着使用二倍角公式和降幂公式将其化为单一角的正弦型函数。
2. 第一问（性质）：根据化简后的 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )+k$，利用 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求周期，利用正弦函数的范围求最大值。
3. 第二问（单调性）：令 $2x-\phi$ 为整体，根据 $x$ 的给定范围确定整体的波动范围。利用 $y=\sin u$ 在各象限的增减性，反推 $x$ 的单调区间。

✅【答案】

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故 $f(x)$ 在 $\left[\frac{5\pi }{12},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上单调递减

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期和最大值 首先对函数进行恒等变换： $f(x)=\cos x\sin x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x$ $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-\sqrt{3}\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}$ $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

• 最小正周期：$\omega =2$，则 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
• 最大值：当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=1$ 时，$f(x)$ 取得最大值， $f(x{)}_{\text{max}}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$。

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(2) 讨论 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的单调性 已知 $x\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$，设 $u=2x-\frac{\pi }{3}$。 则 $\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\le u\le \frac{4\pi }{3}-\frac{\pi }{3}$，即 $0\le u\le \pi$。

我们知道正弦函数 $y=\sin u$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 上单调递减。

1. 递增区间： 令 $0\le 2x-\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}$，解得 $\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{5\pi }{12}$。 故 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{12}\right]$ 上单调递增。
2. 递减区间： 令 $\frac{\pi }{2}\le 2x-\frac{\pi }{3}\le \pi$，解得 $\frac{5\pi }{12}\le x\le \frac{2\pi }{3}$。 故 $f(x)$ 在 $\left[\frac{5\pi }{12},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上单调递减。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 辅助角公式：将 $a\sin x+b\cos x$ 化为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 是解决此类综合题的核心技术。
2. 整体思想：在求单调区间或最值时，将 $(\omega x+\phi )$ 看作一个整体，利用基本正弦函数的性质去解不等式。
3. 易错点：化简过程中的常数项 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 容易被遗漏，虽然它不影响周期和单调性，但直接影响最大值的计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以利用导数法求解单调性。求出 $f^{\prime }(x)=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$，通过判定 $f^{\prime }(x)>0$ 或 $f^{\prime }(x)<0$ 的区间来确定单调性。
• 变式思考: 若要求 $f(x)$ 在该区间上的最小值，应如何考虑？ (提示：比较端点值 $f(\frac{\pi }{6})$ 和 $f(\frac{2\pi }{3})$，选出较小者。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2012-重庆卷理-18
• 2013年重庆卷理-9
• 2014-重庆卷理-10 单-和差公式与二倍角公式