2016-上海卷文-06 填-指数

本题导读

本题考查指数函数与反函数的概念、函数过点求参数，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 已知点 $(3,9)$ 在函数 $f(x)=1+a^x$ 的图象上，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将点 $(3,9)$ 代入函数解析式 $f(x)=1+a^x$ 中，求出底数 $a$ 的值。
2. 写出确定的函数 $f(x)$ 解析式，通过互换 $x,y$ 并解出 $y$ 来求得反函数 $f^{-1}(x)$。

✅【答案】

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${\log }_2(x-1)(x>1)$

✍【详细解析】

Abstract

因为点 $(3,9)$ 在函数 $f(x)=1+a^x$ 的图象上， 所以 $f(3)=9$，即： $1+a^3=9⟹a^3=8⟹a=2$。 此时函数解析式为 $f(x)=1+2^x$（定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(1,+\infty )$）。 求反函数： 设 $y=1+2^x$，则 $2^x=y-1$。 两边取以 2 为底的对数得 $x={\log }_2(y-1)$。 互换 $x,y$ 得反函数表达式为： $f^{-1}(x)={\log }_2(x-1)(x>1)$。 故答案为：${\log }_2(x-1)(x>1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数求参、反函数的求法。
2. 核心方法：待定系数法与对数运算性质。
3. 避坑指南：写反函数时必须写明其定义域（原函数的植域即为反函数的定义域，即 $x>1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数基础题。
2. 结论推广：求函数 $y=c+a^x$ 的反函数步骤为：移项 $\to$ 取对数 $\to$ 互换变元。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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