2016-上海卷文-15 单-不等式

本题导读

本题考查不等式的解法与充分条件、必要条件的判定，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 设 $a\in \mathbb{R}$，则“$a>1$”是“$a^2>1$”的 ()

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　B. 必要非充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 解不等式 $a^2>1$，得出其解集为 $a>1$ 或 $a<-1$。
2. 考察条件“$a>1$”与集合 $\{a\mid a>1\}$ 和 $\{a\mid a>1\text{ 或 }a<-1\}$ 的包含关系，判定充分性与必要性。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设条件 $p:a>1$，条件 $q:a^2>1$。 由 $a^2>1$ 可解得 $a>1$ 或 $a<-1$。

• 充分性：若 $a>1$，则满足 $a^2>1$（因为正数平方大于 1），故 $p⟹q$ 成立，即充分性成立。
• 必要性：若 $a^2>1$，则 $a>1$ 或 $a<-1$，不能推出 $a>1$ 一定成立（例如取 $a=-2$ 满足 $a^2>1$，但 $a>1$ 不成立），故 $q/⟹p$，即必要性不成立。 因此，“$a>1$”是“$a^2>1$”的充分非必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式性质、充要条件判定。
2. 核心方法：集合包含关系法（子集对应充分条件）。
3. 避坑指南：切勿忽略 $a^2>1$ 的解集包含两部分（$a>1$ 或 $a<-1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数学选择题中关于不等式与充要条件的经典基础题。
2. 结论推广：若 $p$ 对应的解集是 $q$ 对应解集的真子集，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式
• 2017-全国卷III理-23 解-绝对值不等式

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