2016-上海卷文-17 单-三角函数

本题导读

本题考查正弦函数的周期性与诱导公式、三角函数恒等方程的解的个数，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 设 $a\in \mathbb{R},b\in [0,2\pi )$.若对任意实数 $x$ 都有 $\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin (ax+b)$，则满足条件的有序实数对 $(a,b)$ 的对数为 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 根据三角函数恒等式 $\sin \alpha =\sin \beta$ 对任意 $x$ 恒成立的条件，$\alpha$ 与 $\beta$ 之间满足 $\beta =\alpha +2k\pi$ 或 $\beta =\pi -\alpha +2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。
2. 建立关于 $a,b$ 及整数 $k$ 的方程组，结合 $b\in [0,2\pi )$ 求解满足条件的 $(a,b)$ 组数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

已知对任意实数 $x$，$\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin (ax+b)$ 恒成立。 这等价于两者的相位满足以下两种情况之一（$k\in \mathbb{Z}$）：

1. 情况一： $ax+b=3x-\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟹(a-3)x+\left(b+\frac{\pi }{3}-2k\pi \right)=0$。 因为该式对任意实数 $x$ 恒成立，所以各项系数必须为零： $\{\begin{array}{l}a-3=0\\ b+\frac{\pi }{3}-2k\pi =0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a=3\\ b=2k\pi -\frac{\pi }{3}\end{array}$。 因为 $b\in [0,2\pi )$，取 $k=1$ 时： $b=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$（满足条件）。 得到一组解：$\left(3,\frac{5\pi }{3}\right)$。

2. 情况二： $ax+b=\pi -\left(3x-\frac{\pi }{3}\right)+2k\pi =-3x+\frac{4\pi }{3}+2k\pi ⟹(a+3)x+\left(b-\frac{4\pi }{3}-2k\pi \right)=0$。 同样根据恒成立条件： $\{\begin{array}{l}a+3=0\\ b-\frac{4\pi }{3}-2k\pi =0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=2k\pi +\frac{4\pi }{3}\end{array}$。 因为 $b\in [0,2\pi )$，取 $k=0$ 时： $b=\frac{4\pi }{3}$（满足条件）。 得到另一组解：$\left(-3,\frac{4\pi }{3}\right)$。

综上所述，满足条件的有序实数对 $(a,b)$ 共有 2 对。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数恒等性、诱导公式、参数方程恒成立。
2. 核心方法：对比系数法与结合变量范围取值验证法。
3. 避坑指南：切勿遗漏正弦函数诱导公式中的第二种情况（$\sin \alpha =\sin (\pi -\alpha )$），同时注意检验参数 $b$ 的取值范围 $[0,2\pi )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角函数中关于恒成立与参数确定的经典题型。
2. 结论推广：若 $\sin (mx+{\phi }_1)=\sin (nx+{\phi }_2)$ 恒成立，则必有 $m=\pm n$ 且相位满足诱导关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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