2016-上海卷文-19 解-体积

本题导读

本题考查圆柱的体积与侧面积计算、异面直线所成的角。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 将边长为 $1$ 的正方形 $A{A}_1{O}_{1}O$（及其内部）绕 $O{O}_1$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\widehat{AC}$ 长为 $\frac{5\pi }{6}$，$\widehat{A_1{B}_1}$ 长为 $\frac{\pi }{3}$，其中 $B_1$ 与 $C$ 在平面 $A{A}_1{O}_{1}O$ 的同侧.

(1) 求圆柱的体积与侧面积；

(2) 求异面直线 $O_1{B}_1$ 与 $OC$ 所成的角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：正方形 $A{A}_1{O}_{1}O$ 的边长为 1，绕 $O{O}_1$ 旋转一周形成的圆柱，其底面半径 $R=OA=O{A}_1=1$，高 $h=O{O}_1=1$。直接代入圆柱的体积与侧面积公式计算即可。
2. 第 (2) 问：建立空间直角坐标系，根据弧长求出点 $B_1$ 和点 $C$ 的坐标，利用向量法计算异面直线 $O_1{B}_1$ 与 $OC$ 的夹角。

✅【答案】

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圆柱的体积为π，侧面积为2π.（2）短答案：异面直线𝑂1𝐵1与𝑂𝐶所成的角为π2.

✍【详细解析】

Abstract

由题意知，正方形 $A{A}_1{O}_{1}O$ 的边长为 $1$，因此旋转形成的圆柱底面半径 $R=1$，高 $h=1$。

(1) 求圆柱的体积与侧面积：

• 圆柱的体积公式为： $V=\pi R^{2}h=\pi \times 1^2\times 1=\pi$。
• 圆柱的侧面积公式为： $S_{\text{侧}}=2\pi Rh=2\pi \times 1\times 1=2\pi$。 故圆柱的体积为 $\pi$，侧面积为 $2\pi$。

(2) 求异面直线 $O_1{B}_1$ 与 $OC$ 所成的角的大小： 以 $O$ 为坐标原点，$OA$ 所在的直线为 $x$ 轴，$O{O}_1$ 所在的直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。

• $O(0,0,0),O_1(0,0,1),A(1,0,0),A_1(1,0,1)$。
• 因为 $\widehat{A_1{B}_1}$ 长为 $\frac{\pi }{3}$，半径为 1，故对应的圆心角为 ${\theta }_1=\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$。 结合 $B_1$ 与 $C$ 在平面 $A{A}_1{O}_{1}O$ 的同侧，可求得点 $B_1$ 的坐标为 $\left(\cos \frac{\pi }{3},\sin \frac{\pi }{3},1\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$。
• 因为 $\widehat{AC}$ 长为 $\frac{5\pi }{6}$，半径为 1，故对应的圆心角为 $\frac{5\pi }{6}$。 可求得点 $C$ 的坐标为 $\left(\cos \frac{5\pi }{6},\sin \frac{5\pi }{6},0\right)=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)$。 向量坐标分别为：
• $\overrightarrow{O_1{B}_1}=B_1-O_1=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$；
• $\overrightarrow{OC}=C-O=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)$。 计算两向量的数量积及模长： $\overrightarrow{O_1{B}_1}\cdot \overrightarrow{OC}=\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)+0\times 0=-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=0$。 因为 $\overrightarrow{O_1{B}_1}\cdot \overrightarrow{OC}=0$，所以两向量垂直。 因此异面直线 $O_1{B}_1$ 与 $OC$ 所成的角为 $90^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱的几何计算、空间向量数量积与异面直线夹角。
2. 核心方法：坐标系建系法与向量垂直判定。
3. 避坑指南：根据弧长求坐标时，注意角度与象限的对应关系，确保点 $B_1$ 和 $C$ 的符号准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何中融合旋转体与空间向量计算的经典题型。
2. 结论推广：圆柱表面上两点连线构成的异面直线夹角通常转化为底面圆弧对应的向量夹角求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

圆柱的体积为π，侧面积为2π.（2）短答案：异面直线𝑂1𝐵1与𝑂𝐶所成的角为π2.

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2015-新课标I卷文-06 单-圆锥体积
• 2015-新课标II卷文-10 单-球与体积

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