2016-上海卷理-10 填-均值不等式

本题导读

本题考查线性方程组无解的条件、基本不等式（均值不等式），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 设 $a>0,b>0$.若关于 $x,y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l}ax+y=1\\ x+by=1\end{array}$ 无解，则 $a+b$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化无解条件：

• 代数角度：消元后得到关于 $x$ 的方程 $0\cdot x=C$ ($C\ne 0$)。
• 几何角度：两条直线平行但不重合。即斜率相等但截距不等。

2. 确定 $a,b$ 关系： 由系数比例关系 $\frac{a}{1}=\frac{1}{b}\ne \frac{1}{1}$，得到 $ab=1$ 且 $b\ne 1$（或 $a\ne 1$）。
3. 应用基本不等式： 已知 $ab=1$，$a,b>0$，求 $a+b$ 的范围。利用 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$，并注意等号成立的条件是否被排除。

✅【答案】

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$(2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 分析无解条件： 方程组可写为： $L_1:ax+y=1$ $L_2:x+by=1$ 方程组无解意味着直线 $L_1\parallel L_2$ 且不重合。 由平行条件得：$\frac{a}{1}=\frac{1}{b}$，即 $ab=1$。 同时要求直线不重合，则 $\frac{a}{1}=\frac{1}{b}\ne \frac{1}{1}$，即 $a\ne 1$（同理可推 $b\ne 1$）。

2. 求 $a+b$ 的范围： 因为 $a>0,b>0$ 且 $ab=1$， 根据基本不等式：$a+b\ge 2\sqrt{ab}=2\sqrt{1}=2$。 等号当且仅当 $a=b$ 时成立。 若 $a=b$ 且 $ab=1$，则 $a=1,b=1$。 但由无解条件可知 $a\ne 1$，因此等号不能取得。 故 $a+b>2$。

3. 结论书写： 由于 $a,b$ 可以取极小或极大的正数，只要满足 $ab=1$，$a+b$ 可以趋于正无穷。 取值范围为 $(2,+\infty )$。

故答案为：$(2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 线性方程组解的判定： 对于方程组 $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$：

  • $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$ $⟺$ 唯一解（直线相交）。
  • $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ $⟺$ 无数解（直线重合）。
  • $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$ $⟺$ 无解（直线平行）。

• 等号成立的检查：在利用基本不等式求范围时，务必检查等号成立的条件是否在定义域内，这是判断区间开闭的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为“有无穷多解”，则要求 $a=1,b=1$，此时 $a+b=2$。
• 行列式工具：在上海卷中，也可以利用二阶行列式系数 $D=\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& b\end{array}\right|=ab-1=0$ 来快速定位 $ab=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式
• 2017-全国卷III理-23 解-绝对值不等式

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