2016-上海卷理-15 单-不等式

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 设 $a\in \mathbb{R}$，则 “$a>1$” 是 “$a^2>1$” 的 ()

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　B. 必要非充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既非充分也非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定充分性：若 $a>1$ 成立，能否推导出 $a^2>1$？ 根据不等式的单调性，当 $a>1$ 时，两边平方得 $a^2>1^2$，即 $a^2>1$。所以充分性成立。
2. 判定必要性：若 $a^2>1$ 成立，能否推导出 $a>1$？ 解不等式 $a^2>1$ 得 $a>1$ 或 $a<-1$。由此可见，$a^2>1$ 时不一定有 $a>1$（例如 $a=-2$ 满足 $a^2>1$ 但不满足 $a>1$）。所以必要性不成立。
3. 得出结论：充分性成立，必要性不成立，故为充分非必要条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 记 $p:a>1$，$q:a^2>1$。

• 对于 $p⟹q$： 因为 $a>1>0$，由不等式性质知 $a^2>1^2=1$，故 $p⟹q$ 为真命题。
• 对于 $q⟹p$： 由 $a^2>1$ 可得 $|a|>1$，即 $a>1$ 或 $a<-1$。 当 $a=-2$ 时，$q$ 成立但 $p$ 不成立，故 $q⟹p$ 为假命题。 综上，“$a>1$” 是 “$a^2>1$” 的充分非必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义回顾：
  • 若 $p⟹q$ 且 $q/⟹p$，则 $p$ 是 $q$ 的充分非必要条件。
  • 若 $q⟹p$ 且 $p/⟹q$，则 $p$ 是 $q$ 的必要非充分条件。
• 集合视角： 设满足 $p$ 的集合为 $P=\{a\mid a>1\}$，满足 $q$ 的集合为 $Q=\{a\mid a>1\text{ 或 }a<-1\}$。 因为 $P⊊Q$，所以 $p$ 是 $q$ 的充分非必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为 “$|a|>1$” 是 “$a^2>1$” 的什么条件？ （答案：充要条件，因为两者对应的 $a$ 范围完全一致）。
• 易错点提示：在处理不等式的平方时，一定要注意底数的正负号。若 $a>b$，则 $a^2>b^2$ 仅在 $a,b$ 均非负（或满足特定绝对值关系）时成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式
• 2017-全国卷III理-23 解-绝对值不等式

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