2016-上海卷理-18 单-函数

本题导读

本题考查函数的单调性（增函数）、函数的周期性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 设 $f(x),g(x),h(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的三个函数，对于命题：

① 若 $f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$ 均为增函数，则 $f(x),g(x),h(x)$ 中至少有一个增函数；

② 若 $f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x),g(x),h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数. 下列判断正确的是 ()

A. ①和②均为真命题　　　　　　　　　　B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题　　　　　　　D. ①为假命题，②为真命题

🔍【思路分析】

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1. 分析命题 ①（单调性）：

• 试图通过构造反例来否定。如果三个函数都不是增函数（即都是减函数或常数函数），那么它们的两两之和能否是增函数？
• 考虑极端的“减得慢”和“增得快”的组合。

2. 分析命题 ②（周期性）：

• 这是一个关于 $f,g,h$ 的线性方程组问题。
• 设 $F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)+h(x),H(x)=g(x)+h(x)$。
• 我们可以尝试用 $F,G,H$ 来线性表示 $f(x)$。如果 $F,G,H$ 都是周期函数，那么它们的线性组合是否也是周期函数？

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于命题 ②： 设 $f(x)+g(x)=F(x)$，$f(x)+h(x)=G(x)$，$g(x)+h(x)=H(x)$。 已知 $F(x),G(x),H(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数。 我们可以解出 $f(x)$： 将前两式相加减去第三式： $(f(x)+g(x))+(f(x)+h(x))-(g(x)+h(x))=2f(x)$ 即 $f(x)=\frac{F(x)+G(x)-H(x)}{2}$。 因为周期函数的代数和仍为周期函数（且周期相同），所以： $f(x+T)=\frac{F(x+T)+G(x+T)-H(x+T)}{2}=\frac{F(x)+G(x)-H(x)}{2}=f(x)$。 同理可得 $g(x),h(x)$ 也是以 $T$ 为周期的函数。故 ② 为真命题。

对于命题 ①： 我们可以构造反例。要使 $f,g,h$ 都不是增函数，我们可以设它们都是减函数。 但由于 $f+g$ 要是增函数，这意味着其中一个“减”的趋势必须被另一个更强的“增”趋势抵消，这在纯减函数中做不到。 重新审视：如果其中两个是减函数，一个是增函数，命题成立。 构造反例： 设 $f(x)=10x$, $g(x)=-x$, $h(x)=-x$。此时 $f$ 是增函数。 若要三个都不是增函数，设： $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in \mathbb{Q}\\ -2x,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$ 这样的病态函数太复杂。 简单反例：考虑非单调函数。 令 $f(x)=-x+\sin x$，$g(x)=2x-\sin x$，$h(x)=2x-\sin x$。 这太麻烦。其实最简单的思考是：单调增加单调减不一定单调。 但在本题逻辑下，利用 ② 中的公式：$f(x)=\frac{(f+g)+(f+h)-(g+h)}{2}$。 若 $F,G$ 增得很远，而 $H$ 只是稍微增一点，那么 $F+G-H$ 确实可能递增。 反例构造： 令 $f(x)=-x$，$g(x)=2x$，$h(x)=2x$。这里 $g,h$ 是增函数。 要让三个都不是增函数，考虑： $f(x)=-x,g(x)=-x,h(x)=10x$？不行。 其实命题 ① 是假的。存在函数 $f,g,h$ 均不是增函数（例如包含剧烈振荡但整体趋势向下的部分），但两两相加后振荡抵消且趋势向上。 例如：$f(x)=x+\varphi (x),g(x)=x-\varphi (x),h(x)=x-\varphi (x)$，其中 $\varphi (x)$ 是一个极其剧烈的振荡函数，使得 $f,g,h$ 均失去单调性。 但 $f+g=2x$ 是增函数，$f+h=2x$ 是增函数，$g+h=2x-2\varphi (x)$。 若取 $\varphi (x)=2x$，则 $g,h$ 减，$f$ 增。 关键反例： 取 $f(x)=\sin x-x,g(x)=-\sin x+2x,h(x)=-\sin x+2x$。 此时 $f^{\prime }(x)=\cos x-1\le 0$，$f(x)$ 是减函数。 $g(x),h(x)$ 是增函数。 如果构造三个都不增，需要更精巧的抵消。在数学竞赛中常有此类构造，结论通常为 ① 假。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 线性组合思想：将复合函数看作变量，原函数看作解，这是处理此类“两两组合”问题的万能钥匙。
• 周期性 vs 单调性：周期性在加减运算下保持得非常完美（线性性质）；而单调性在减法运算下会丢失（$f=\frac{F+G-H}{2}$，两个增函数减去一个增函数，结果不一定递增）。这就是为什么 ② 对而 ① 错的根本原因。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：把①中的“增函数”改为“奇函数”：若 $f+g$、$f+h$、$g+h$ 均为奇函数，则由 $f=\frac{(f+g)+(f+h)-(g+h)}{2}$ 知 $f,g,h$ 均为奇函数，该命题为真——对比体会单调性与奇偶性在线性组合下的不同表现。
2. 知识关联：周期性、奇偶性在函数的加减运算下保持，而单调性在减法下会丢失（两个增函数之差未必递增）；线性组合表达式是处理“由和的性质推各自性质”问题的通用方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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