2016-全国卷I文-16 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划与目标函数最值、简单线性规划的应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 某高科技企业生产产品 $A$ 和产品 $B$，需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 $A$ 需要甲材料 $1.5\text{ kg}$，乙材料 $1\text{ kg}$，用 $5$ 个工时；生产一件产品 $B$ 需要甲材料 $0.5\text{ kg}$，乙材料 $0.3\text{ kg}$，用 $3$ 个工时，生产一件产品 $A$ 的利润为 $2100$ 元，生产一件产品 $B$ 的利润为 $900$ 元.该企业现有甲材料 $150\text{ kg}$，乙材料 $90\text{ kg}$，则在不超过 $600$ 个工时的条件下，生产产品 $A$、产品 $B$ 的利润之和的最大值为$\underline{}$元.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设生产产品 $A$ $x$ 件，生产产品 $B$ $y$ 件，总利润为 $z$。
2. 根据题意列出约束条件： $\{\begin{array}{l}1.5x+0.5y\le 150\\ x+0.3y\le 90\\ 5x+3y\le 600\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$
3. 目标函数为 $z=2100x+900y$，画出可行域并求出各顶点处的利润，取最大值。

✅【答案】

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$216000$

✍【详细解析】

Abstract

设生产产品 $A$ $x$ 件，产品 $B$ $y$ 件，则约束条件可化简为： $\{\begin{array}{l}3x+y\le 300\\ 10x+3y\le 900\\ 5x+3y\le 600\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$ 目标函数为 $z=2100x+900y$。 联立主要边界直线： 由 $\{\begin{array}{l}10x+3y=900\\ 5x+3y=600\end{array}$ 解得顶点坐标为 $(60,100)$。 由 $\{\begin{array}{l}3x+y=300\\ 5x+3y=600\end{array}$ 解得顶点坐标为 $(75,75)$（代入乙材料约束 $10(75)+3(75)=975>900$，超限舍去）。 可行域的边界顶点主要有 $(0,0)$、$(90,0)$、$(0,300)$ 以及 $(60,100)$。 计算各顶点的目标函数值：

• 当 $x=0,y=300$ 时，$z=2100(0)+900(300)=270000$ 元；
• 当 $x=60,y=100$ 时，$z=2100(60)+900(100)=216000$ 元；
• 当 $x=90,y=0$ 时，$z=2100(90)+900(0)=189000$ 元。 比较可知，利润之和的最大值为 $270000$ 元。 故答案为 $270000$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求目标函数最值。
2. 核心方法：顶点验证法。
3. 避坑指南：列约束条件时要注意小数化为整数，并仔细核对各项资源的限制边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划应用题的经典题型。
2. 结论推广：线性目标函数的最值通常在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

专题合集 (Series)