2016-全国卷I文-19 解-概率

本题导读

本题考查概率与统计的综合应用（柱状图、频率分布）、分段函数的解析式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 某公司计划购买 1 台机器，该机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年试用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记 $x$ 表示 1 台机器在三年试用期内需更换的易损零件数，$y$ 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），$n$ 表示购机的同时购买的易损零件数.

(1) 若 $n=19$，求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式；

(2) 若要求“需更换的易损零件数不大于 $n$”的频率不小于 $0.5$，求 $n$ 的最小值；

(3) 假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：根据 $n=19$，分 $x\le 19$ 和 $x>19$ 两种情况列出购买费用的分段函数。当 $x\le 19$ 时，费用固定为 $19\times 200=3800$ 元；当 $x>19$ 时，前 19 个每个 200 元，超过 19 个的部分每个 500 元。
2. 第 (2) 问：根据柱状图总频数为 100，计算各段的累计频率，找出累计频率首次达到或超过 0.5 对应的 $n$ 值。
3. 第 (3) 问：分别计算取 $n=19$ 和 $n=20$ 时 100 台机器的总费用，进而求出平均数，对比平均费用大小做出决策。

✅【答案】

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𝑦=⎧{⎨{⎩

✍【详细解析】

Abstract

由柱状图可知，100 台机器在三年试用期内更换的易损零件数 $x$ 的频数分布为：

• $x=16$ 时，频数为 $6$；
• $x=17$ 时，频数为 $16$；
• $x=18$ 时，频数为 $24$；
• $x=19$ 时，频数为 $24$；
• $x=20$ 时，频数为 $20$；
• $x=21$ 时，频数为 $10$。

(1) 当 $n=19$ 时，购机时购买了 19 个备件，每个 200 元。

• 当 $x⩽19$ 时，无需额外购买，费用为 $y=19\times 200=3800$ 元；
• 当 $x>19$（即 $x=20$ 或 $x=21$）时，19 个备件全用完，还需额外购买 $(x-19)$ 个，每个 500 元，费用为 $y=19\times 200+500(x-19)=3800+500x-9500=500x-5700$ 元。 因此，$y$ 与 $x$ 的函数解析式为： $y=\{\begin{array}{ll}3800,& x⩽19,\\ 500x-5700,& x>19.\end{array}$

(2) “需更换的易损零件数不大于 $n$”的频率为 $P(x⩽n)$。 我们计算各段的累计频率：

• 当 $n=16$ 时，频率为 $\frac{6}{100}=0.06<0.5$；
• 当 $n=17$ 时，频率为 $\frac{6+16}{100}=0.22<0.5$；
• 当 $n=18$ 时，频率为 $\frac{6+16+24}{100}=0.46<0.5$；
• 当 $n=19$ 时，频率为 $\frac{6+16+24+24}{100}=0.70\ge 0.5$。 因为要求频率不小于 $0.5$，所以 $n$ 的最小值为 $19$。

(3) 分别计算 $n=19$ 和 $n=20$ 时 100 台机器的总费用：

• 当 $n=19$ 时：

• $x⩽19$ 的机器有 $6+16+24+24=70$ 台，每台费用为 $3800$ 元；

• $x=20$ 的机器有 $20$ 台，每台费用为 $500\times 20-5700=4300$ 元；

• $x=21$ 的机器有 $10$ 台，每台费用为 $500\times 21-5700=4800$ 元。 总费用为：$70\times 3800+20\times 4300+10\times 4800=266000+86000+48000=400000$ 元。 平均数为：$\frac{400000}{100}=4000$ 元。

• 当 $n=20$ 时：

• 购机时购买 20 个备件，每个 200 元，基础费用为 $20\times 200=4000$ 元。

• 当 $x⩽20$ 时（即 $x=16,17,18,19,20$），无需额外购买，共 $6+16+24+24+20=90$ 台，每台费用为 $4000$ 元；

• 当 $x=21$ 时，有 $10$ 台，需额外购买 $21-20=1$ 个，每个 500 元，每台费用为 $4000+500=4500$ 元。 总费用为：$90\times 4000+10\times 4500=360000+45000=405000$ 元。 平均数为：$\frac{405000}{100}=4050$ 元。

因为 $4000<4050$，即 $n=19$ 时的平均费用比 $n=20$ 时低， 所以购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数建模、统计图表数据分析、样本平均数计算。
2. 核心方法：分类讨论与加权平均比较法。
3. 避坑指南：在第 (3) 问计算 $n=20$ 的费用时，注意基础购买费用变成了 $20\times 200=4000$ 元，切勿套用 $n=19$ 时的常数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考概率统计应用题中的经典成本优化与期望决策模型。
2. 结论推广：此类实际决策问题通常通过计算不同方案下的数学期望（或样本平均数）来择优。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

专题合集 (Series)