2016-全国卷I文-22 解-几何证明

本题导读

本题考查切线的判定定理、等腰三角形的性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 如图，$△OAB$ 是等腰三角形，$\angle AOB=120^{\circ }$.以 $O$ 为圆心，$\frac{1}{2}OA$ 为半径作 $\odot O$.

(1)证明：直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切；

(2)点 $C,D$ 在 $\odot O$ 上，且 $A,B,C,D$ 四点共圆，证明：$AB//CD$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明切线）：

• 原理：要证直线与圆相切，只需证明圆心到直线的距离等于半径。
• 操作：过点 $O$ 作 $OK\perp AB$ 于 $K$。在 $Rt△OKA$ 中利用 $30^{\circ }$ 角的性质计算 $OK$ 的长。若 $OK=r=\frac{1}{2}OA$，则结论成立。

2. 第二问（证明平行）：

• 关键：寻找两直线的公共垂直线。
• 逻辑：设 $A,B,C,D$ 四点所在圆的圆心为 $T$。
• 因为 $OA=OB$ 且 $TA=TB$，根据垂直平分线性质，$OT$ 必为弦 $AB$ 的中垂线。
• 同理，因为 $OC=OD$（均为 $\odot O$ 半径）且 $TC=TD$（均为 $\odot T$ 半径），$OT$ 必为弦 $CD$ 的中垂线。
• 两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行。

✅【答案】

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直线𝐴𝐵与⊙𝑂相切；𝐴𝐵∥𝐶𝐷.

✍【详细解析】

Abstract

证明：

(1)设 $K$ 为 $AB$ 的中点，连接 $OK$。 因为 $OA=OB$，所以 $OK\perp AB$。 在 $△OAB$ 中，$\angle AOB=120^{\circ }$， 所以 $\angle A=\angle B=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$。 在 $Rt△OKA$ 中，$OK=OA\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}OA$。 即圆心 $O$ 到直线 $AB$ 的距离等于 $\odot O$ 的半径。 所以 直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切。

(2)设 $A,B,C,D$ 四点所在的圆为 $\odot T$，其圆心为 $T$。 在 $\odot O$ 中，因为 $OC=OD$（半径），所以点 $O$ 在 $CD$ 的垂直平分线上。 在 $\odot T$ 中，因为 $TC=TD$（半径），所以点 $T$ 在 $CD$ 的垂直平分线上。 故 直线 $OT$ 是 $CD$ 的垂直平分线，即 $OT\perp CD$。 同理，在 $\odot T$ 中，因为 $TA=TB$，点 $T$ 在 $AB$ 的垂直平分线上。 由(1)知 $OA=OB$，点 $O$ 在 $AB$ 的垂直平分线上。 故 直线 $OT$ 也是 $AB$ 的垂直平分线，即 $OT\perp AB$。 因为 $AB,CD$ 均垂直于 $OT$， 所以 $AB//CD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 切线证明的套路：有公共点连半径证垂直；无公共点作垂直证半径。
• 轴对称思想：本题第二问的本质是两个圆组成的图形关于连心线 $OT$ 成轴对称，因此所有平行的弦都垂直于这条连心线。
• 在处理四点共圆问题时，构造两个圆的连心线是解决对称、平行问题的常用技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若点 $C,D$ 的位置发生变化，只要 $A,B,C,D$ 依然共圆，$AB//CD$ 的结论是否依然成立？（只要图形保持关于 $OT$ 的对称性就成立）。
2. 知识关联：本题考查了初中平面几何的综合运用，是高考选做题中得分率较高的一类。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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