2016-全国卷I理-05 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质（焦距与 a, b 的关系），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 已知方程 $\frac{x^2}{m^2+n}-\frac{y^2}{3m^2-n}=1$ 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 $4$，则 $n$ 的取值范围是 ()

A. $(-1,3)$　　　　B. $(-1,\sqrt{3})$　　　　C. $(0,3)$　　　　D. $(0,\sqrt{3})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析双曲线含义：方程 $\frac{x^2}{A}-\frac{y^2}{B}=1$ 表示双曲线，要求 $A>0$ 且 $B>0$（焦点在 $x$ 轴）或 $A<0$ 且 $B<0$（通过变形，焦点在 $y$ 轴）。但观察本题形式，标准形式下要求分母项 $m^2+n$ 与 $3m^2-n$ 均为正数。
2. 利用焦距条件：焦距 $2c=4⟹c=2⟹c^2=4$。
3. 建立等式：在双曲线中，$c^2=a^2+b^2$。代入分母表达式：$(m^2+n)+(3m^2-n)=4$。
4. 建立不等式组：由双曲线定义可知 $a^2=m^2+n>0$ 且 $b^2=3m^2-n>0$。将等式求出的 $m^2$ 代入不等式组求解 $n$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求 $m^2$ 的值： 由题意知该方程表示双曲线，焦距 $2c=4$，则 $c=2,c^2=4$。 根据双曲线中 $c^2=a^2+b^2$ 的关系： $(m^2+n)+(3m^2-n)=4⟹4m^2=4⟹m^2=1$。
2. 确定 $n$ 的范围： 方程要表示双曲线，分母必须满足： $\{\begin{array}{l}{m}^2+n>0\\ 3m^2-n>0\end{array}$ 将 $m^2=1$ 代入得： $\{\begin{array}{l}1+n>0\\ 3-n>0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}n>-1\\ n<3\end{array}$ 即 $-1<n<3$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 易错陷阱：本题方程右侧为 $1$。如果右侧为 $-1$，则焦点位置及 $a,b$ 的对应关系会发生变化。
• 公式联系：注意区分椭圆（$a^2=b^2+c^2$）与双曲线（$c^2=a^2+b^2$）中三个参数的关系。
• 在处理圆锥曲线的参数范围问题时，除了利用题目给出的等量关系（如焦距），千万不要漏掉隐藏的约束条件（分母必须为正）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目改为“表示椭圆”，则条件变为 $m^2+n>0,3m^2-n>0$ 且 $m^2+n\ne 3m^2-n$，同时 $c^2=|(m^2+n)-(3m^2-n)|$。
2. 知识关联：双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{\frac{3m^2-n}{m^2+n}}x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线

专题合集 (Series)