2016-全国卷I理-07 单-导数

本题导读

本题考查函数的图象、函数的奇偶性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 函数 $f(x)=2x^2-e^{|x|}$ 在 $[-2,2]$ 的图象大致为 ()

🔍【思路分析】

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1. 对称性分析：观察解析式中的 $x^2$ 和 $|x|$，判断函数的奇偶性。偶函数图象关于 $y$ 轴对称。
2. 特殊点取值：计算端点 $x=\pm 2$ 时的函数值，判断其正负以及与 $1$ 的大小关系，排除不符合的选项。
3. 单调性分析（导数法）：研究函数在 $[0,2]$ 上的增减性。通过求导分析是否存在极值点，从而确定图象的起伏趋势，排除单调递增或递减的图象。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 判断奇偶性： $f(-x)=2(-x{)}^2-e^{|-x|}=2x^2-e^{|x|}=f(x)$。 所以 $f(x)$ 是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。图中四个选项均满足。
2. 特殊点代入： 当 $x=2$ 时，$f(2)=2\times 2^2-e^2=8-e^2$。 已知 $2.7<e<2.8$，则 $7.29<e^2<7.84$。 所以 $0<8-e^2<1$。 观察选项：

• A 项中 $x=2$ 时 $f(x)<0$（在 $x$ 轴下方），排除；
• B 项中 $x=2$ 时 $f(x)>1$，排除。

3. 分析单调性： 考虑 $x\in [0,2]$ 时，$f(x)=2x^2-e^x$。 求导得 $f^{\prime }(x)=4x-e^x$。

• 当 $x=0$ 时，$f^{\prime }(0)=-1<0$；
• 当 $x=1$ 时，$f^{\prime }(1)=4-e>0$；
• 当 $x=2$ 时，$f^{\prime }(2)=8-e^2>0$。 由于 $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,1]$ 之间存在变号零点，说明函数在 $[0,2]$ 上先减后增。 观察选项：
• C 项在 $[0,2]$ 上单调递增，排除。
• D 项在 $0$ 附近先下降后上升，且 $x=2$ 时函数值在 $(0,1)$ 之间，符合所有特征。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三步走战略：对于复杂函数图象题，按照“一看对称（奇偶）、二找特殊（截距/端点）、三定趋势（单调/极值）”的顺序能高效解题。
• 常数估算：熟记 $e\approx 2.718$，$e^2\approx 7.39$ 是解决此类超越函数题的必备技能。
• 本题 D 项在原点处的“尖角”是因为解析式中含有 $|x|$，在 $x=0$ 处不可导导致的，这是识别含绝对值函数图象的重要特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若函数改为 $y=2x^2+e^{|x|}$，图象会如何变化？（在 $[0,2]$ 上将始终递增）。
2. 知识关联：本题结合了导数与超越函数，是全国卷中考查函数综合素质的经典中档题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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