2016-全国卷I理-12 单-三角函数

本题导读

本题考查正弦型函数的图象与性质、三角函数的对称性（对称轴与对称中心），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi )$ ($\omega >0,|\varphi |\le \frac{\pi }{2}$)，$x=-\frac{\pi }{4}$ 为 $f(x)$ 的零点，$x=\frac{\pi }{4}$ 为 $y=f(x)$ 图象的对称轴，且 $f(x)$ 在 $(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36})$ 上单调，则 $\omega$ 的最大值为 ()

A. 11　　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 7　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用对称性确定 $\omega$ 的规律：

• 零点 $x=-\frac{\pi }{4}$ 与对称轴 $x=\frac{\pi }{4}$ 之间的距离 $d=\frac{\pi }{4}-(-\frac{\pi }{4})=\frac{\pi }{2}$。
• 在正弦曲线中，相邻零点与对称轴之间的距离是 $\frac{T}{4}$ 的奇数倍。即 $\frac{\pi }{2}=(2n+1)\cdot \frac{T}{4}$ ($n\in \mathbb{N}$)。
• 代入 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 可建立 $\omega$ 与 $n$ 的关系：$\omega =2n+1$，说明 $\omega$ 为正奇数。

2. 利用单调性确定范围：

• $f(x)$ 在 $(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36})$ 上单调，说明该区间的长度不大于半个周期：$\Delta x=\frac{5\pi }{36}-\frac{\pi }{18}=\frac{3\pi }{36}=\frac{\pi }{12}\le \frac{T}{2}$。
• 代入 $\frac{T}{2}=\frac{\pi }{\omega }$ 得 $\frac{\pi }{12}\le \frac{\pi }{\omega }⟹\omega \le 12$。
• 结合 $\omega$ 为奇数，可能的值为 $11,9,7,\dots$。

3. 验证单调性（排除法）：

• 分别验证 $\omega =11$ 和 $\omega =9$ 时，给定区间内是否包含零点或对称轴。若包含，则不单调。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：

1. 确定 $\omega$ 的表达式： 因为 $x=-\frac{\pi }{4}$ 是零点，$x=\frac{\pi }{4}$ 是对称轴， 所以 $\frac{\pi }{4}-(-\frac{\pi }{4})=(2n+1)\frac{T}{4}=\frac{2n+1}{4}\cdot \frac{2\pi }{\omega }$ ($n\in \mathbb{N}$)。 $\frac{\pi }{2}=\frac{(2n+1)\pi }{2\omega }⟹\omega =2n+1$。 即 $\omega$ 必为正奇数。

2. 限制 $\omega$ 的上界： 因为 $f(x)$ 在 $(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36})$ 上单调， 所以区间长度 $\frac{5\pi }{36}-\frac{\pi }{18}=\frac{\pi }{12}\le \frac{T}{2}=\frac{\pi }{\omega }$。 解得 $\omega \le 12$。 结合奇数条件，$\omega$ 最大可能为 $11$。

3. 精确验证 $\omega =11$： 当 $\omega =11$ 时，由 $-\frac{\pi }{4}\times 11+\varphi =k\pi$ 及 $|\varphi |\le \frac{\pi }{2}$ 可得 $\varphi =-\frac{\pi }{4}$（取 $k=-3$）。 此时 $f(x)=\sin (11x-\frac{\pi }{4})$。 考察其对称轴：$11x-\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{2}⟹11x=k\pi +\frac{3\pi }{4}$。 当 $k=0$ 时，$x=\frac{3\pi }{44}$。 比较大小：$\frac{\pi }{18}<\frac{3\pi }{44}<\frac{5\pi }{36}$。 由于区间内包含对称轴，故 $\omega =11$ 时函数在该区间不单调，排除 A。

4. 精确验证 $\omega =9$： 当 $\omega =9$ 时，$-\frac{\pi }{4}\times 9+\varphi =k\pi ⟹\varphi =\frac{\pi }{4}$（取 $k=-2$）。 此时 $f(x)=\sin (9x+\frac{\pi }{4})$。 对称轴为 $9x+\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{2}⟹9x=k\pi +\frac{\pi }{4}⟹x=\frac{k\pi }{9}+\frac{\pi }{36}$。 当 $k=0$ 时，$x=\frac{\pi }{36}<\frac{\pi }{18}$； 当 $k=1$ 时，$x=\frac{5\pi }{36}$（恰为区间端点）。 因此在 $(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36})$ 内无对称轴也无零点，满足单调性。

故选 B

解法2：

步骤一：根据零点和对称轴列方程

1. 零点条件： $-\frac{\pi }{4}\omega +\phi =k_1\pi$ ①

2. 对称轴条件： $\frac{\pi }{4}\omega +\phi =k_2\pi +\frac{\pi }{2}$ ②

步骤二：解方程组 将方程①和②相加，消去 $\omega$： $2\phi =(k_1+k_2)\pi +\frac{\pi }{2}$ $\phi =\frac{(k_1+k_2)\pi }{2}+\frac{\pi }{4}$ 由于 $|\phi |\le \frac{\pi }{2}$，所以 $\phi =\frac{\pi }{4}$ 或 $\phi =-\frac{\pi }{4}$。

情况一：$\phi =\frac{\pi }{4}$ 代入方程①： $-\frac{\pi }{4}\omega +\frac{\pi }{4}=k_1\pi$ $-\omega +1=4k_1$ $\omega =1-4k_1$

情况二：$\phi =-\frac{\pi }{4}$ 代入方程①： $-\frac{\pi }{4}\omega -\frac{\pi }{4}=k_1\pi$ $-\omega -1=4k_1$ $\omega =-1-4k_1$

步骤三：根据单调性确定 $\omega$ 的最大值 $f(x)$ 在 $(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36})$ 上单调，说明此区间长度小于等于半个周期。 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，所以 $\frac{T}{2}=\frac{\pi }{\omega }$。 区间长度：$\frac{5\pi }{36}-\frac{\pi }{18}=\frac{5\pi }{36}-\frac{2\pi }{36}=\frac{3\pi }{36}=\frac{\pi }{12}$ 因此，$\frac{\pi }{12}\le \frac{\pi }{\omega }$，解得 $\omega \le 12$。 结合 $\omega =1-4k_1$ 和 $\omega =-1-4k_1$，且 $\omega >0$，我们尝试最大的可能值： - 当 $k_1=-2$ 时，$\omega =1-4(-2)=9$。 - 当 $k_1=-3$ 时，$\omega =1-4(-3)=13$，但 $13>12$，不符合单调性条件。 验证 $\omega =9$ 时，$f(x)=\sin (9x+\phi )$ 在区间 $(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36})$ 上确实单调。

结论： $\omega$ 的最大值为 $9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心逻辑：本题将定性（单调）与定量（对称轴、零点）结合。最快的方法是先通过周期性确定 $\omega$ 的奇偶性，再由区间长度定上界，最后从大到小代值验证。
• 易错点：很多考生容易只通过 $\omega \le 12$ 选 A，忽略了单调区间内不能包含对称轴这一强约束。
• 在高考三角函数题中，$\frac{T}{4}$ 是零点到最近对称轴的距离，熟记这一几何特征能极大提高解题速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：本题骨架是“零点到最近对称轴的距离为 $\frac{T}{4}$ 的奇数倍”：由 $\frac{\pi }{2}=\frac{(2k+1)T}{4}$ 得 $\omega =2k+1$ 为奇数，再由单调区间长 $\frac{\pi }{12}\le \frac{T}{2}$ 得 $\omega \le 12$；若去掉“在 $(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36})$ 上单调”这一条件，$\omega =11$ 也可满足（该区间内将含零点，故被排除），可体会“从大到小验证”的策略。
2. 知识关联：正弦型函数中对称轴、零点、单调区间的相互约束是“定性条件定参数”的典型场景；“$\frac{T}{4}$ 是零点到最近对称轴的距离”这一几何特征务必熟记。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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