本题导读
本题考查简单线性规划、目标函数的几何意义，以及相关运算的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2016年全国卷I(理)） 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.
🔍【思路分析】
破题导航
- 建立数学模型：
- 设生产产品 A 件，产品 B 件。
- 列出约束条件：
- 甲材料限制：
- 乙材料限制：
- 工时限制：
- 隐含条件：
- 列出目标函数：。
- 确定可行域：在坐标系中画出上述不等式组表示的平面区域。
- 寻找最优解：
- 目标函数可化为 。斜率为 。
- 比较约束条件的边界斜率：
- 的斜率为 。
- 的斜率为 。
- 的斜率为 。
- 通过移动直线 ，发现最优解通常在 与 的交点处取得。
计算最值：求出交点坐标，代入目标函数。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
解：
- 列出不等式组：
- 联立方程求交点： 联立 （即 ）与 ： 两式相减：。 代入 。 交点坐标为 。 校验其他约束：代入 ，满足甲材料约束。
- 计算最大利润： 将 代入目标函数 ： 。
故答案为
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💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 实际建模能力：此类题的难点不在于规划本身，而在于如何把表格数据转化成正确的不等式。建议草稿纸上列表对应。
- 斜率法判断：不用每次都精准作图，通过比较目标函数与边界直线的斜率大小，可以快速锁定最优顶点。
- 线性规划题在填空压轴位出现时，计算量通常较大，且容易出现 必须为整数的陷阱（本题交点恰好为整数，较为仁慈）。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 变式训练：若利润改为 产品 2500 元， 产品 1000 元，最优生产方案会改变吗？
- 知识关联：线性规划是运筹学的基础，在高考中通常考查基础的图解法。
🔗【关联脉络】
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