2016-全国卷II文-03 单-函数

本题导读

本题考查正弦型函数的图象与性质、由图象确定解析式参数，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的部分图象如图所示，则 ()

A. $y=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$　　　　　　　　　　　　　　B. $y=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$

C. $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$　　　　　　　　　　　　　　D. $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从图象最高点读出振幅 $A=2$。
2. 利用已知的一个周期或半周期求出 $\omega$，或者利用特殊点代入法验证选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由图象可知，函数的最大值为 $2$，故振幅 $A=2$。 观察图象中的关键点：当 $x=\frac{\pi }{3}$ 时，$y=2$（达到最大值）；当 $x=-\frac{\pi }{6}$ 时，$y=-2$（达到最小值）。 半个周期为 $\frac{T}{2}=\frac{\pi }{3}-\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{2}$， 故周期 $T=\pi$，从而角频率 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\pi }=2$。 排除选项 (C) 和 (D)（它们的 $\omega =1$）。 将 $x=\frac{\pi }{3},y=2$ 代入选项 (A) 和 (B) 验证： 对于 (A)：$y=2\sin \left(2\left(\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \left(\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=2$（符合）； 对于 (B)：$y=2\sin \left(2\left(\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ne 2$（不符合）。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三角函数图象求解析式参数。
2. 核心方法：关键点代入验证法与周期公式法。
3. 避坑指南：代入特殊点时务必仔细核对横纵坐标，避免看错符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三角函数图象性质的常规考查。
2. 结论推广：结合最高点和最低点横坐标差可直接求出半周期。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)