2016-全国卷II文-12 单-函数

本题导读

本题考查函数的对称性、函数图象的交点与根的对称性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 已知函数 $f(x)(x\in \mathbb{R})$ 满足 $f(x)=f(2-x)$，若函数 $y=|x^2-2x-3|$ 与 $y=f(x)$ 图象的交点为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_m,y_m)$，则 ${\sum }_{i=1}^m{x}_i=$ ()

A. $0$　　　　　　　B. $m$　　　　　　　C. $2m$　　　　　　　D. $4m$

🔍【思路分析】

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1. 分析函数 $f(x)=f(2-x)$ 的几何意义：该函数的图象关于直线 $x=1$ 对称。
2. 观察另一端函数 $g(x)=|x^2-2x-3|$ 的对称性：由于 $x^2-2x-3=(x-1{)}^2-4$，其图象同样关于直线 $x=1$ 对称。
3. 既然两个函数的图象都关于直线 $x=1$ 对称，其交点若不成对出现在线段中点两侧，则利用对称性求出交点横坐标的和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

首先，分析函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f(2-x)$，这说明函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称。 再看函数 $g(x)=|x^2-2x-3|=|(x-1{)}^2-4|$，其对称轴为 $x=-\frac{-2}{2(1)}=1$，因此 $g(x)$ 的图象也关于直线 $x=1$ 对称。 因为两个函数的图象都关于直线 $x=1$ 对称：

• 若交点不在对称轴 $x=1$ 上，则交点必然成对出现关于直线 $x=1$ 对称。即若 $x_i$ 是交点，则 $2-x_j$ 也是交点，满足 $x_i+x_j=2\times 1=2$。
• 若有交点恰好在对称轴 $x=1$ 上，则该交点的横坐标为 $1$。 假设共有 $m$ 个交点： 如果所有交点均成对出现，且总对数为 $\frac{m}{2}$ 对，则所有横坐标之和为 $\frac{m}{2}\times 2=m$； 如果包含位于对称轴上的交点，考虑到对称性，成对的交点其横坐标之和为 $2$，在对称轴上的交点横坐标为 $1$，总体配对后总和依然符合规律。 更一般地，由两个图象关于 $x=1$ 对称可知，若交点总数为 $m$ 个，且成对关于 $x=1$ 对称（或本身在轴上），每一对的平均值为 $1$，总和即为 $m\times 1=m$（若交点全对称成对，则总和为 $m\times 1=m$ 对应的 $m$ 倍关系）。 通过严密的对称性配对求和可知，${\sum }_{i=1}^m{x}_i=m$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的对称性、图象交点横坐标之和。
2. 核心方法：利用图形的对称轴成对配对求和。
3. 避坑指南：切勿尝试去解具体的交点坐标，两函数解析式复杂，必须从对称性入手。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数对称性综合应用的高频压轴题。
2. 结论推广：若两个函数图象关于同一条直线 $x=a$ 对称，则其所有交点的横坐标之和若成对存在，必为 $2a\times \frac{m}{2}=am$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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