2016-全国卷II文-18 解-均值不等式

本题导读

本题考查概率的频率估计、互斥事件概率计算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 某险种的基本保费为 $a$（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数	0	1	2	3	4	$⩾5$
保费	$0.85a$	$a$	$1.25a$	$1.5a$	$1.75a$	$2a$

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

上年度出险次数	0	1	2	3	4	$⩾5$
频数	60	50	30	30	20	10

(1) 记 $A$ 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 $P(A)$ 的估计值；

(2) 记 $B$ 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 $160\%$”.求 $P(B)$ 的估计值；

(3) 求续保人本年度的平均保费估计值.（注：题目原编号第二个为(2)，此处按常规序号处理）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：基本保费为 $a$。由表格知，保费不高于 $a$ 对应的上年度出险次数为 $0$（保费 $0.85a$）和 $1$（保费 $a$）。计算这两组的频数之和除以总人数 200。
2. 第 (2) 问：保费高于基本保费（$>a$，即出险次数 $\ge 2$）但不高于基本保费的 $160\%$（$\le 1.6a$，即保费为 $1.25a$ 或 $1.5a$，对应出险次数为 2 或 3）。计算对应频数之和除以 200。
3. 第 (3) 问：求平均保费估计值，即用各档保费乘以对应的频率，然后求和（或总保费除以总人数 200）。

✅【答案】

点击查看答案

𝐺为𝐴𝐵的中点；在平面𝑃𝐴𝐵内过𝐸作𝐸𝐹∥𝑃𝐵，交𝑃𝐴于𝐹，则𝐹为点𝐸在平面𝑃𝐴𝐶内的正投影；四面体𝑃𝐷𝐸𝐹的体积为43.

✍【详细解析】

Abstract

总调查人数为：$60+50+30+30+20+10=200$ 人。

(1) 事件 $A$：“一续保人本年度的保费不高于基本保费 $a$”，对应的上年度出险次数为 $0$ 和 $1$。

• 出险次数为 0 的频数是 60；
• 出险次数为 1 的频数是 50。 满足条件的总频数为 $60+50=110$。 故 $P(A)$ 的估计值为： $P(A)=\frac{110}{200}=0.55$（或 $\frac{11}{20}$）。

(2) 事件 $B$：“一续保人本年度的保费高于基本保费 $a$ 但不高于基本保费的 $160\%$（即 $1.6a$）”。 对照保费表：

• 出险 0 次：$0.85a$（低于 $a$）
• 出险 1 次：$a$（不高于 $a$，但题目要求高于 $a$）
• 出险 2 次：$1.25a$（满足 $a<1.25a\le 1.6a$）
• 出险 3 次：$1.5a$（满足 $a<1.5a\le 1.6a$）
• 出险 4 次：$1.75a$（高于 $1.6a$）
• 出险 $\ge 5$ 次：$2a$（高于 $1.6a$） 因此，对应的上年度出险次数为 2 和 3。
• 出险次数为 2 的频数是 30；
• 出险次数为 3 的频数是 30。 满足条件的总频数为 $30+30=60$。 故 $P(B)$ 的估计值为： $P(B)=\frac{60}{200}=0.3$（或 $\frac{3}{10}$）。

(3) 计算续保人本年度的平均保费估计值： 各档保费及对应人数如下：

• 保费 $0.85a$ 的人数为 60；
• 保费 $a$ 的人数为 50；
• 保费 $1.25a$ 的人数为 30；
• 保费 $1.5a$ 的人数为 30；
• 保费 $1.75a$ 的人数为 20；
• 保费 $2a$ 的人数为 10。 总保费为： $0.85a\times 60+a\times 50+1.25a\times 30+1.5a\times 30+1.75a\times 20+2a\times 10$ $=51a+50a+37.5a+45a+35a+20a$ $=(51+50+37.5+45+35+20)a=238.5a$。 平均保费为： $\frac{238.5a}{200}=1.1925a$ 元。 故续保人本年度的平均保费估计值为 $1.1925a$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率估计概率、离散型变量的数学期望计算。
2. 核心方法：频数与总数求比值、加权平均数计算。
3. 避坑指南：第 (2) 问中“高于基本保费”意味着不包含保费恰好等于 $a$ 的情况（即出险 1 次的情况），审题时需格外仔细。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国卷概率统计解答题中的经典实际应用题。
2. 结论推广：利用样本频率作为概率的估计值、利用加权平均数估计总体期望是统计学核心思想。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2014-上海卷理-10 填-概率计算公式
• 2014-上海卷理-13 填-数学期望

专题合集 (Series)