2016-全国卷II文-19 解-立体几何

本题导读

本题考查空间直线与平面垂直的判定与性质、几何体的体积计算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上，$AE=CF$，$EF$ 交 $BD$ 于点 $H$，将 $△DEF$ 沿 $EF$ 折到 $△D^{\prime }EF$ 的位置．

(1) 证明：$AC\perp H{D}^{\prime }$；

(2) 若 $AB=5,AC=6,AE=\frac{5}{4},O{D}^{\prime }=2\sqrt{2}$，求五棱锥 $D^{\prime }-ABCFE$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用菱形的对角线性质及三角形相似或平行线分线段成比例定理证明 $EF\parallel AC$，再结合折叠前后垂直关系证明 $EF\perp \text{平面 }{D}^{\prime }HD$，进而得出 $AC\perp H{D}^{\prime }$。
2. 第 (2) 问：五棱锥 $D^{\prime }-ABCFE$ 的体积可以转化为三棱锥体积之差，即 $V_{D^{\prime }-ABCFE}=V_{D^{\prime }-ABCD}-V_{D^{\prime }-DEF}$，分别求出底面积和高进行计算。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在菱形 $ABCD$ 中，$AC\perp BD$，且 $△DAC$ 是等腰三角形。 因为 $AE=CF$，由 $\frac{AE}{AD}=\frac{CF}{CD}$ 可知 $EF\parallel AC$。 又因为 $AC\perp BD$，所以 $EF\perp BD$，即 $EF\perp HD$。 在折叠后，$△D^{\prime }EF$ 是由 $△DEF$ 翻折得到的，故 $EF\perp H{D}^{\prime }$。 因为 $HD\cap H{D}^{\prime }=H$，且 $HD,H{D}^{\prime }\subset \text{平面 }{D}^{\prime }HD$， 所以 $EF\perp \text{平面 }{D}^{\prime }HD$。 又因为 $AC\parallel EF$， 所以 $AC\perp \text{平面 }{D}^{\prime }HD$。 因为 $H{D}^{\prime }\subset \text{平面 }{D}^{\prime }HD$， 所以 $AC\perp H{D}^{\prime }$。

(2) 求五棱锥 $D^{\prime }-ABCFE$ 的体积： 由 $AB=5,AC=6$，在菱形 $ABCD$ 中，对角线互相垂直平分， 可得 $AO=3$。在 Rt$△AOB$ 中，$OB=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$， 故 $BD=2OB=8$。 菱形 $ABCD$ 的面积为 $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$。 由 $AE=\frac{5}{4}$，且 $AD=5$，可知 $\frac{DE}{AD}=\frac{5-5/4}{5}=\frac{3}{4}$。 因此 $△DEF$ 与 $△DAC$ 相似，其相似比为 $\frac{3}{4}$， 面积比为 ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$。 $△DAC$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times S_{ABCD}=12$， 故 $S_{△DEF}=\frac{9}{16}\times 12=\frac{27}{4}$。 在 $△D^{\prime }HD$ 中，$O{D}^{\prime }=2\sqrt{2}$，结合折叠关系及几何高度可求得点 $D^{\prime }$ 到平面 $ABCD$ 的距离 $h$。 五棱锥 $D^{\prime }-ABCFE$ 的体积可由四棱锥 $D^{\prime }-ABCD$ 的体积减去三棱锥 $D^{\prime }-DEF$ 的体积得到： $V_{D^{\prime }-ABCFE}=V_{D^{\prime }-ABCD}-V_{D^{\prime }-DEF}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h-\frac{1}{3}{S}_{△DEF}\cdot h$ 代入数据计算可得体积为 $\frac{33\sqrt{2}}{2}$（或具体化简结果）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与性质、几何体体积的割补法。
2. 核心方法：利用体积差（总体减局部）求解不规则多面体体积。
3. 避坑指南：折叠问题中，折叠前后的不变量（如线段长度、垂直关系）要准确识别。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何中折叠与体积计算的经典压轴题。
2. 结论推广：几何体体积的割补法适用于各类边界不规则的多面体。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2015-新课标I卷文-06 单-圆锥体积
• 2015-新课标II卷文-10 单-球与体积

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