2016-全国卷II理-08 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图与循环结构、秦九韶算法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 $x=2,n=2$，依次输入的 $a$ 为 $2,2,5$，则输出的 $s=$ ()

A. 7　　　　　　　B. 12　　　　　　　C. 17　　　　　　　D. 34

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化：输入 $x=2,n=2$，初始状态 $k=0,s=0$。
2. 模拟循环：

• 第1次循环：输入第一个 $a=2$，更新 $s$，增加 $k$，判断是否满足 $k>n$。
• 第2次循环：若不满足退出条件，输入第二个 $a=2$，更新 $s$ 和 $k$。
• 第3次循环：继续输入 $a=5$，直到 $k$ 的值超过 $n=2$。

3. 结果输出：当 $k>n$ 成立时，跳出循环，输出当前的 $s$ 值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 初始输入：$x=2,n=2,k=0,s=0$。
2. 第一圈循环：

• 输入 $a=2$。
• $s=s\cdot x+a=0\times 2+2=2$。
• $k=k+1=1$。
• 判断 $k>n$ 即 $1>2$？否，继续循环。

3. 第二圈循环：

• 输入 $a=2$。
• $s=s\cdot x+a=2\times 2+2=6$。
• $k=k+1=2$。
• 判断 $k>n$ 即 $2>2$？否，继续循环。

4. 第三圈循环：

• 输入 $a=5$。
• $s=s\cdot x+a=6\times 2+5=17$。
• $k=k+1=3$。
• 判断 $k>n$ 即 $3>2$？是，退出循环。

5. 输出结果：输出 $s=17$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 算法背景：秦九韶算法的核心思想是将多项式 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ 改写为嵌套形式 $f(x)=(\dots ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots +a_1)x+a_0$，从而减少乘法运算次数。
• 循环注意点：注意 $k>n$ 这一判断条件的阈值。在本题中，$k$ 增加到 3 才会退出，这意味着循环体总共执行了 3 次，因此需要消耗掉 3 个输入值 $a$。
• 在处理这类选择题时，最稳妥的方法是在草稿纸上列表记录变量的变化，避免由于脑补逻辑导致的“多一圈”或“少一圈”误差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若将判断条件改为 $k\ge n$，输出结果会发生什么变化？（会少执行一次循环，消耗 2 个 $a$ 值，输出 $s=6$）。
2. 知识关联：本算法是现代计算机处理高次多项式求值的最基础逻辑，体现了算法的简洁美。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

C

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-08 单-程序框图
• 2017-全国卷III理-07 单-程序框图
• 2017-全国卷II文-10 单-程序框图

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