2016-全国卷II理-22 解-几何证明

本题导读

本题考查相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定（对角互补）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E,G$ 分别在边 $DA,DC$ 上（不与端点重合），且 $DE=DG$，过 $D$ 点作 $DF\perp CE$，垂足为 $F$.

(1)证明：$B,C,G,F$ 四点共圆；

(2)若 $AB=1$，$E$ 为 $DA$ 的中点，求四边形 $BCGF$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：

• 要证 $B,C,G,F$ 四点共圆，只需证对角互补，即 $\angle GFB+\angle GCB=180^{\circ }$。
• 由于正方形 $\angle GCB=90^{\circ }$，只需证明 $\angle GFB=90^{\circ }$。
• 通过 $Rt△DFC\sim Rt△EDC$ 建立边长比例，结合 $DE=DG$ 转化到 $△GDF$ 与 $△BCF$ 的关系。

2. 第二问思路：

• $E$ 为中点，则 $DG=DE=\frac{1}{2}$，$GC=\frac{1}{2}$。

• 在 $Rt△DFC$ 中，$G$ 恰好是斜边 $DC$ 的中点。利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”得 $GF=GC=GD$。

• 证明 $△GFB\cong △GCB$，从而四边形面积等于两个 $△GCB$ 面积之和。

✅【答案】

点击查看答案

（1）直线𝐴𝐵与⊙𝑂相切.（2）𝐴𝐵∥𝐶𝐷.

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：

1. 在 $Rt△EDC$ 中，$DF\perp CE$，由射影定理（或相似三角形）可知： $△DFC\sim △EDC⟹\frac{DF}{ED}=\frac{FC}{DC}$。
2. 因为 $DE=DG$ 且 $DC=BC$， 代入上式得 $\frac{DF}{DG}=\frac{FC}{BC}$，即 $\frac{DF}{FC}=\frac{DG}{BC}$。
3. 又 $\angle GDC=\angle BCD=90^{\circ }$，且 $\angle GDF=90^{\circ }-\angle FDC=\angle BCF$。
4. 在 $△GDF$ 与 $△BCF$ 中，由于 $\frac{DF}{FC}=\frac{DG}{BC}$ 且夹角相等， 所以 $△GDF\sim △BCF⟹\angle DFG=\angle CFB$。
5. 因为 $\angle GFB=\angle GFC+\angle CFB=\angle GFC+\angle DFG=\angle DFC=90^{\circ }$。
6. 又因为 $\angle GCB=90^{\circ }$，所以 $\angle GFB+\angle GCB=180^{\circ }$。 故 $B,C,G,F$ 四点共圆。

(2)解：

1. 因为 $AB=1$，$E$ 是 $AD$ 的中点，所以 $DE=DG=\frac{1}{2}$。 则 $G$ 是 $CD$ 的中点，即 $DG=GC=\frac{1}{2}$。
2. 在 $Rt△DFC$ 中，$G$ 为斜边 $DC$ 的中点， 根据直角三角形性质，$GF=GC=\frac{1}{2}$。
3. 在 $△GFB$ 与 $△GCB$ 中： $GF=GC=\frac{1}{2}$，$CB=1$（共有），$GB=GB$（公共边）。 所以 $△GFB\cong △GCB$（SSS）。
4. 因此，$S_{\text{四边形 }BCGF}=2S_{△GCB}=2\times (\frac{1}{2}\times GC\times BC)=2\times (\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 1)=\frac{1}{2}$。

故四边形 $BCGF$ 的面积为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 技巧点拨：第一问的相似转化是难点，关键在于利用正方形边长相等的特性，将 $ED$ 换成 $DG$，将 $DC$ 换成 $BC$。

• 性质应用：第二问中“直角三角形斜边中线”是一个极强的隐藏信息，一旦发现 $G$ 是中点，计算量瞬间减小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：第(2)问中 $E$ 为 $DA$ 中点即 $DE=\frac{1}{2}AD$；若改为 $DE=\frac{1}{3}AD$（$AB=1$），同法（全等转移角、勾股求垂足、割补算面积）可求得四边形 $BCGF$ 的面积为 $\frac{11}{20}$。
2. 知识关联：本题主线是“全等（相似）转角、四点共圆、直角三角形斜边中线、割补求面积”的平面几何综合链条；“对角互补则四点共圆”与“直角三角形斜边中线等于斜边一半”是这类证明题的两个高频枢纽。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

专题合集 (Series)