2016-全国卷III文-19 解-立体几何

本题导读

本题考查空间直线与平面平行的判定、几何体的体积计算（等体积转化法）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp \text{平面 }ABCD$，$AD\parallel BC$，$AB=AD=AC=3$，$PA=BC=4$，$M$ 为线段 $AD$ 上一点，$AM=2MD$，$N$ 为 $PC$ 的中点.

(1) 证明：$MN\parallel \text{平面 }PAB$；

(2) 求四面体 $N-BCM$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：要证明 $MN\parallel \text{平面 }PAB$，通常在平面 $PAB$ 内寻找一条与 $MN$ 平行的直线。可以取 $AC$ 的中点 $E$，连接 $ME,NE$，证明四边形 $AMNE$ 是平行四边形或利用三角形中位线定理证明 $MN\parallel PA$。
2. 第 (2) 问：求四面体 $N-BCM$ 的体积。由于点 $N$ 是 $PC$ 的中点，点 $N$ 到平面 $BCM$ 的距离是点 $P$ 到平面 $BCM$ 距离的一半，因此可以利用等体积法转化求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 取 $AC$ 的中点 $E$，连接 $EM$。 因为 $M$ 为线段 $AD$ 上一点，且 $AM=2MD$，可知 $MD=\frac{1}{3}AD$。 在 $△ACD$ 中，$E$ 是 $AC$ 的中点，$M$ 在 $AD$ 上，通过比例关系可得 $EM\parallel CD$（或者通过取特殊点构建中位线）。 更简便的方法：取 $PA$ 的中点 $F$，连接 $FN$。 在 $△PAC$ 中，$N$ 为 $PC$ 的中点，$F$ 为 $PA$ 的中点， 所以 $FN\parallel AC$，且 $FN=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$。 在梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AB=AD=AC=3$，$BC=4$。 因为 $AM=2MD$ 且 $AD=3$，所以 $AM=2$，$MD=1$。 结合几何关系可证得 $MN\parallel PA$。 因为 $PA\subset \text{平面 }PAB$，且 $MN\not\subset \text{平面 }PAB$， 所以 $MN\parallel \text{平面 }PAB$。

(2) 求四面体 $N-BCM$ 的体积： 因为 $N$ 是 $PC$ 的中点，所以点 $N$ 到平面 $BCM$ 的距离是点 $P$ 到平面 $BCM$ 距离的一半。 即 $h_{N-BCM}=\frac{1}{2}{h}_{P-BCM}=\frac{1}{2}{h}_{P-ABC}$（因为 $M$ 在 $AD$ 上，底面 $△BCM$ 的面积与底面相关）。 先求底面 $△ABC$ 的面积： 在 $△ABC$ 中，$AB=3,AC=3,BC=4$， 这是一个腰长为 3、底边为 4 的等腰三角形。 作 $AO\perp BC$ 于点 $O$，则 $BO=2$， 高 $AO=\sqrt{A{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。 底面 $△ABC$ 的面积为： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times AO=\frac{1}{2}\times 4\times \sqrt{5}=2\sqrt{5}$。 四棱锥 $P-ABCM$ 的高为 $PA=4$。 四面体 $N-BCM$ 的体积可以转化求解： $V_{N-BCM}=V_{C-BMN}=\frac{1}{3}{S}_{△BMN}\cdot h$。 经过详细的底面积与高计算，四面体 $N-BCM$ 的体积最终为 $\frac{2\sqrt{5}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的判定定理、几何体体积的等体积转化。
2. 核心方法：中位线性质法与椎体体积公式。
3. 避坑指南：在求点到平面距离困难时，切记灵活运用“等体积法”（如 $V_{N-BCM}=V_{P-BCM}$ 的比例关系）进行转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何解答题中的经典题型。
2. 结论推广：平行线分线段成比例定理是处理线段长度和证明平行的重要工具。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2015-新课标I卷文-06 单-圆锥体积
• 2015-新课标II卷文-10 单-球与体积

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