2016-全国卷III理-06 单-指数

本题导读

本题考查幂函数的单调性、指数幂的运算性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 已知 $a=2^{\frac{4}{3}}$，$b=3^{\frac{2}{3}}$，$c=25^{\frac{1}{3}}$，则 ()

A. $b<a<c$　　B. $a<b<c$　　C. $b<c<a$　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一指数：观察 $a,b,c$ 的指数，分母均为 3。为了方便利用幂函数的单调性，尝试将指数统一为 $\frac{2}{3}$ 或 $\frac{1}{3}$。
2. 变形转化：

• 将 $a=2^{\frac{4}{3}}$ 变形为 $(2^2{)}^{\frac{2}{3}}=4^{\frac{2}{3}}$。
• 将 $c=25^{\frac{1}{3}}$ 变形为 $(5^2{)}^{\frac{1}{3}}$ 或 $(25^{\frac{1}{2}}{)}^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{2}{3}}$。

3. 构造函数：构造幂函数 $y=x^{\frac{2}{3}}$。
4. 利用单调性：由于 $\frac{2}{3}>0$，函数 $y=x^{\frac{2}{3}}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。通过比较底数的大小即可得出 $a,b,c$ 的大小关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 变形各个数值：

• $a=2^{\frac{4}{3}}=(2^2{)}^{\frac{2}{3}}=4^{\frac{2}{3}}$；
• $b=3^{\frac{2}{3}}$；
• $c=25^{\frac{1}{3}}=(5^2{)}^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}$。

2. 比较底数： 有 $3<4<5$。
3. 得出结论： 构造函数 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$。因为 $\frac{2}{3}>0$，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 由于 $3<4<5$， 所以 $3^{\frac{2}{3}}<4^{\frac{2}{3}}<5^{\frac{2}{3}}$。 即 $b<a<c$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心方法：比较幂子式大小的常用方法有：
• 同底数：构造指数函数，利用其单调性。
• 同指数：构造幂函数，利用其单调性。
• 不同底也不同指：引入中间值（如 0 或 1）进行比较。
• 易错提醒：在变形 $c$ 时，要确保最后统一的指数符号一致。本题统一为正分数指数，单调性易判断。
• 技巧点拨：若指数的分母不同，可先通分，例如将指数都化为以 $\frac{1}{6}$ 为底的形式，但本题分母已统一，直接变形底数最快。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若 $a=2^{\frac{4}{3}}$，$b=3^{\frac{2}{3}}$，$c={\log }_{2}3$，如何比较？此时 $a,b$ 均大于 1，而 $c$ 也大于 1，需要通过估值或进一步寻找中间值（如 $a=\sqrt[3]{16}\approx 2.5$，$b=\sqrt[3]{9}\approx 2.08$，$c\approx 1.58$）来判断。
• 知识关联：幂函数的图象特征（过点 $(1,1)$，$\alpha >0$ 时第一象限增，$\alpha <0$ 时减）是此类题目的理论支柱。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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