2016-全国卷III理-15 填-几何证明

本题导读

本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x<0$ 时，$f(x)=\ln (-x)+3x$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,-3)$ 处的切线方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化解析式：利用偶函数性质 $f(x)=f(-x)$，根据 $x<0$ 时的解析式推导出 $x>0$ 时的解析式。
2. 求导数：对 $x>0$ 时的 $f(x)$ 进行求导，得到导函数 $f^{\prime }(x)$。
3. 求斜率与切点：

• 将 $x=1$ 代入 $f^{\prime }(x)$ 求出切线斜率 $k$。
• 验证切点 $(1,-3)$ 是否在曲线上（代入 $f(x)$ 计算）。

4. 写出方程：利用点斜式直线方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 化简得出结果。

✅【答案】

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$2x+y+1=0$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求 $x>0$ 时的解析式： 设 $x>0$，则 $-x<0$。 因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(x)=f(-x)$。 已知当 $x<0$ 时，$f(x)=\ln (-x)+3x$。 所以当 $x>0$ 时，$f(x)=\ln [-(-x)]+3(-x)=\ln x-3x$。
2. 求导函数： 对 $f(x)=\ln x-3x$ 求导，得 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-3$。
3. 计算切线斜率： 在点 $(1,-3)$ 处，$x=1$。 切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=\frac{1}{1}-3=-2$。
4. 求切线方程： 利用点斜式：$y-(-3)=-2(x-1)$。 整理得：$y+3=-2x+2$。 即 $2x+y+1=0$。

答案为：$2x+y+1=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 函数对称性的应用：偶函数 $f(x)=f(-x)$，奇函数 $f(x)=-f(-x)$。本题中通过代换自变量符号快速实现了跨区间解析式的转换。
• 导数的几何意义：函数在点 $x_0$ 处的导数值 $f^{\prime }(x_0)$ 即为曲线在该点处切线的斜率。
• 易错提醒：在求 $f(-x)$ 时，注意 $3x$ 中的 $x$ 也要整体替换为 $-x$；同时在求切线方程时，习惯上将其化为一般式 $Ax+By+C=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若 $f(x)$ 为奇函数，结果会有何变化？ 答：若为奇函数，$f(x)=-f(-x)=-[\ln x-3x]=-\ln x+3x$，求导后斜率和切点坐标都会改变。
• 知识关联：对于具有对称性的函数，其导函数的对称性会发生“反转”：偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导函数是偶函数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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