2016-北京卷文-04 单-函数

本题导读

本题考查函数的单调性、常见函数的单调区间，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 下列函数中，在区间 $(-1,1)$ 上为减函数的是 ()

A. $y=\frac{1}{1-x}$　　B. $y=\cos x$　　C. $y=\ln (x+1)$　　D. $y=2^{-x}$

🔍【思路分析】

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1. 逐一分析四个选项在区间 $(-1,1)$ 上的单调性。
2. 或求导数，看导函数在区间 $(-1,1)$ 上的符号。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对于 (A)，$y=\frac{1}{1-x}=-(x-1{)}^{-1}$，其定义域为 $x\ne 1$，在 $(-\infty ,1)$ 和 $(1,+\infty )$ 上单调递增，故在 $(-1,1)$ 上为增函数； 对于 (B)，$y=\cos x$ 在 $(0,\pi )$ 上单调递减，而 $(-1,1)$ 包含正负区间，在 $(-1,0)$ 上单调递增，在 $(0,1)$ 上单调递减，故不是单调函数； 对于 (C)，$y=\ln (x+1)$ 的定义域为 $x>-1$，其导数为 $y^{\prime }=\frac{1}{x+1}$，在 $(-1,1)$ 上 $y^{\prime }>0$ 恒成立，故为增函数； 对于 (D)，$y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 是底数为 $\frac{1}{2}$ 的指数函数，在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，因此在区间 $(-1,1)$ 上为减函数。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本初等函数的单调性。
2. 核心方法：利用导数符号或复合函数同增异减性质判断。
3. 避坑指南：注意函数的定义域及三角函数在指定区间内的单调性变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：函数单调性概念及初等函数性质的常规考查。
2. 结论推广：复合函数的单调性遵循“同增异减”原则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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