2016-北京卷文-07 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划与目标函数最值、直线斜率与几何意义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 已知 $A(2,5),B(4,1)$.若点 $P(x,y)$ 在线段 $AB$ 上，则 $2x-y$ 的最大值为 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $7$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $z=2x-y$，变形为 $y=2x-z$，其几何意义表示斜率为 $2$、纵截距为 $-z$ 的平行直线系。
2. 当直线经过线段 $AB$ 上的点时，截距 $-z$ 达到最大或最小，从而确定 $z$ 的最值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

目标函数可变形为 $y=2x-z$，即 $z=2x-y$。 直线的斜率为 $k=2$，纵截距为 $-z$。要使 $z=2x-y$ 最大，则纵截距 $-z$ 必须最小。 我们在坐标系中画出点 $A(2,5)$ 和 $B(4,1)$，线段 $AB$ 的方程为： $\frac{y-5}{1-5}=\frac{x-2}{4-2}⟹\frac{y-5}{-4}=\frac{x-2}{2}⟹y-5=-2(x-2)⟹2x+y-9=0$。 当直线 $y=2x-z$ 经过点 $B(4,1)$ 时，截距取得极值： 代入 $B(4,1)$ 得：$z=2(4)-1=8-1=7$。 经过点 $A(2,5)$ 时：$z=2(2)-5=4-5=-1$。 因此，当点 $P$ 位于点 $B(4,1)$ 时，$2x-y$ 取得最大值 $7$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划目标函数的几何意义。
2. 核心方法：截距法与端点检验法。
3. 避坑指南：注意目标函数中 $y$ 前面系数为负时，截距与 $z$ 值的增减反向关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：线性规划在线段上的最值问题。
2. 结论推广：对于线性目标函数在线段或多边形区域内求最值，通常在顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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