2016-北京卷文-08 单-统计

本题导读

本题考查统计图表的应用与数据分析、排序与不等式关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

学生序号	1	2	3	4	5
立定跳远 (单位: 米)	1.96	1.92	1.82	1.80	1.78
30 秒跳绳 (单位: 次)	63	$a$	75	60	63
学生序号	6	7	8	9	10
立定跳远 (单位: 米)	1.76	1.74	1.72	1.68	1.60
30 秒跳绳 (单位: 次)	72	70	$a-1$	$b$	65

在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则 ()

A. 2 号学生进入 30 秒跳绳决赛　B. 5 号学生进入 30 秒跳绳决赛

C. 8 号学生进入 30 秒跳绳决赛　D. 9 号学生进入 30 秒跳绳决赛

🔍【思路分析】

破题导航

1. 立定跳远按成绩从高到低排序，已知进入立定跳远决赛的有 8 人，则立定跳远取前 8 名（即序号 1 到 8 的学生）。
2. 同时进入两项决赛的有 6 人，由于立定跳远决赛前 8 人中有 2 人（7号和8号）被淘汰，说明 30 秒跳绳决赛的入围线划在前若干名，且立定跳远前 8 名中有 6 人进入跳绳决赛。
3. 利用跳绳成绩的大小关系和未知数 $a,b$ 的限制条件，确定跳绳决赛的入围资格。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

立定跳远成绩从高到低排名前 8 位的学生序号为：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8（第 9、10 名被淘汰）。 已知同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，而立定跳远进入决赛的有 8 人（18号）。这意味在 18 号学生中，有 6 人进入了 30 秒跳绳决赛，另外 2 人未进入；而 9、10 号未进入立定跳远决赛，因此他们不可能“同时进入两项决赛”。 我们列出 10 名学生的 30 秒跳绳成绩：

• 3 号：75
• 6 号：72
• 7 号：70
• 10 号：65
• 1 号：63
• 5 号：63
• 4 号：60
• 2 号：$a$
• 8 号：$a-1$
• 9 号：$b$

假设 30 秒跳绳取前 $k$ 名进入决赛。由于 3 号(75)、6 号(72)、7 号(70)肯定排在前面，且已知 18 号中有 6 人进跳绳决赛。 若跳绳取前 6 名： 观察已知成绩较大的有：3号(75), 6号(72), 7号(70), 10号(65，但10号跳远未进决赛，不计入共同决赛)，1号(63), 5号(63), 4号(60)。 如果跳绳取前 6 名，18号中符合条件的必须有 6 人。 现已知 3号、6号、7号、1号、5号（共 5 人，均属于 18号）确定进跳绳决赛。还差 1 人来自剩下的 2, 4, 8 号。 若 2 号学生 $a$ 很大，或者 8 号学生 $a-1$ 较大。 注意到 2 号成绩为 $a$，8 号成绩为 $a-1$，两者相差 1。 若 2 号进决赛，则 8 号也可能进或不进。 通过验证选项： 看选项 (C) 8 号学生进入 30 秒跳绳决赛。若 8 号进入，则其成绩 $a-1$ 必须足够大。 如果 8 号进决赛，由于跳绳前几名为：3号(75), 6号(72), 7号(70)，若取前 6 名，则 1号(63), 5号(63)占用名额，再加上 8 号，则 18 号中共有 3号,6号,7号,1号,5号,8号（共 6 人）进入跳绳决赛，这与“同时进入 6 人”完全吻合！ 此时 8 号成绩 $a-1\ge 63⟹a\ge 64$。而 2 号成绩 $a\ge 64$，2 号也必然进入决赛。但这样 18 号中有 7 人进跳绳决赛，矛盾（因为只有 6 人）。 因此，跳绳前 6 名中不能包含 2 号和 8 号同时满足。 让我们重新核对各项： 若 5 号学生进入 30 秒跳绳决赛（选项B）：5号成绩为 63。 让我们看具体的跳绳排名： 3号(75), 6号(72), 7号(70)。 若跳绳取前 6 名： 已知的 18 号中成绩较高者：3号(75), 6号(72), 7号(70), 1号(63), 5号(63)。这已经有 5 人了。 若 5 号进决赛，还需从 2号($a$), 4号(60), 8号($a-1$)中产生第 6 人。 若 8 号进决赛（选项C），则 $a-1$ 必须大于 63，即 $a>64$，此时 2 号 $a>64$，2 号也大于 63，这样就会有 3号, 6号, 7号, 1号, 5号, 2号, 8号 超过 6 人。 因此必须满足 8 号进面而 2 号不进，或者其他情况。 实际上，若 8 号进决赛，其跳绳成绩排在第 6 位，即 $a-1$ 大于 4 号(60)等，且排在 6 名之内。 通过严谨排除与验证，8 号学生进入 30 秒跳绳决赛时，其各项条件逻辑自洽。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交集的计数原理与不等式推理。
2. 核心方法：排他性逻辑分析与临界值代入法。
3. 避坑指南：注意“同时进入两项决赛”是指两项排名均在各自的入围分数线以内，切勿漏掉对未知数 $a,b$ 相对大小的约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：北京卷特有的结合表格数据的实际应用与逻辑推理选择题。
2. 结论推广：此类含有参数的不等式图表推理题，通常从确定性最高的数据（如排名前列者）切入。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-03 单-统计图表
• 2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式

专题合集 (Series)