2016-北京卷文-14 填-集合

本题导读

本题考查集合的交、并运算与容斥原理、应用题中的计数问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店 ① 第一天售出但第二天未售出的商品有$\underline{}$种； ② 这三天售出的商品最少有$\underline{}$种.

🔍【思路分析】

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1. 第 1 问：利用集合差集性质，第一天售出商品总数减去前两天都售出的商品数即为第一天售出但第二天未售出的种类数。
2. 第 2 问：要求三天售出的商品总数最少，即求三天对应集合的并集元素最少。根据容斥原理及集合包含关系，通过放缩法估计最小值。

✅【答案】

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$16$；$29$

✍【详细解析】

Abstract

设第一天、第二天、第三天售出商品构成的集合分别为 $A,B,C$，则： $|A|=19,|B|=13,|C|=18$。 前两天都售出的商品有 3 种，即 $|A\cap B|=3$。 后两天都售出的商品有 4 种，即 $|B\cap C|=4$。

对于第①问： 第一天售出但第二天未售出的商品种类数即为 $|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|=19-3=16$ 种。

对于第②问： 要求这三天售出的商品总数最少，即求 $|A\cup B\cup C|$ 的最小值。 根据容斥原理： $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$ 已知 $|A|=19,|B|=13,|C|=18,|A\cap B|=3,|B\cap C|=4$。 代入得： $|A\cup B\cup C|=19+13+18-3-4-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|=43-(|A\cap C|-|A\cap B\cap C|)$。 为了使并集最小，括号内的值 $(|A\cap C|-|A\cap B\cap C|)$ 应尽可能大。 由于 $A\cap C$ 中包含三者共同售出的部分，即 $A\cap B\cap C\subseteq A\cap C$， 所以 $|A\cap C|-|A\cap B\cap C|\le |C\setminus B|=|C|-|B\cap C|=18-4=14$。 同时，还需满足 $A\cap B\cap C$ 的元素个数受限。 通过极值分析，当第一天和第三天售出的商品尽可能多地重合（包含在彼此或被第二天包含等极限情况）， 或者利用集合包含关系的极值： 总商品数最少可由各项包含关系取极限得到。 具体地，由 $A$ 和 $B$ 的交集为 3，可知 $A$ 中有 3 种在 $B$ 中；$B$ 和 $C$ 交集为 4，可知 $B$ 中有 4 种在 $C$ 中。 要使总种类最少，应让尽可能多的商品在多天重复出现。 第三天售出 18 种，后两天共同 4 种，说明在 $B$ 和 $C$ 的交集中有 4 种。 计算可得，三天售出的商品总数最少值为 $26$。 故答案为：① $16$；② $26$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的容斥原理、最值估计。
2. 核心方法：文氏图分析法与极值放缩法。
3. 避坑指南：第②问求最少时，需考虑集合之间的包含关系及重叠最大化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：北京卷高频考查的集合应用与逻辑计数题。
2. 结论推广：多集合交并集的最值问题常借助文氏图与容斥公式进行放缩。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-全国卷III文-01 单-集合
• 2017-全国卷III理-01 单-集合

专题合集 (Series)