2016-北京卷文-20 解-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线方程）、三次函数的极值与零点问题。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

(2) 设 $a=b=4$，若函数 $f(x)$ 有三个不同零点，求 $c$ 的取值范围；

(3) 求证：$a^2-3b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：先求出切点坐标 $(0,c)$，再求导数 $f^{\prime }(x)$ 并代入 $x=0$ 得到切线斜率，最后由点斜式写出切线方程。
2. 第 (2) 问：代入 $a=b=4$，利用导数研究函数 $f(x)=x^3+4x^2+4x+c$ 的单调性与极值，根据“有三个不同零点”转化为极小值小于 0 且极大值大于 0 来求解 $c$ 的范围。
3. 第 (3) 问：分别从“必要性”（有三个不同零点 $⟹a^2-3b>0$）和“不充分性”（举反例说明 $a^2-3b>0/⟹$ 有三个不同零点）两方面进行证明。

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$a^2-3b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$， 所以 $f(0)=c$，切点坐标为 $(0,c)$。 对函数求导得：$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$， 切线斜率 $k=f^{\prime }(0)=b$。 因此，曲线在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为： $y-c=b(x-0)⟹y=bx+c$。

(2) 当 $a=b=4$ 时，$f(x)=x^3+4x^2+4x+c$。 求导得：$f^{\prime }(x)=3x^2+8x+4=(3x+2)(x+2)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得两个极值点：$x_1=-2,x_2=-\frac{2}{3}$。 当 $x$ 变化时，$f^{\prime }(x)$ 与 $f(x)$ 的变化情况如下：

• 当 $x\in (-\infty ,-2)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in \left(-2,-\frac{2}{3}\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in \left(-\frac{2}{3},+\infty \right)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 因此，函数在 $x=-2$ 处取得极大值，极大值为： $f(-2)=(-2{)}^3+4(-2{)}^2+4(-2)+c=-8+16-8+c=c$。 在 $x=-\frac{2}{3}$ 处取得极小值，极小值为： $f\left(-\frac{2}{3}\right)={\left(-\frac{2}{3}\right)}^3+4{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+4\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-\frac{8}{27}+\frac{16}{9}-\frac{8}{3}+c=c-\frac{32}{27}$。 若函数 $f(x)$ 有三个不同零点，则必须满足极大值大于 0 且极小值小于 0： $\{\begin{array}{l}f(-2)>0\\ f\left(-\frac{2}{3}\right)<0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}c>0\\ c-\frac{32}{27}<0\end{array}⟹0<c<\frac{32}{27}$。 故 $c$ 的取值范围为 $\left(0,\frac{32}{27}\right)$。

(3) 证明： ① 必要性证明： 若 $f(x)$ 有三个不同零点，说明 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ 必有两个不同的零点（即极大值点和极小值点横坐标不同）。 因此，一元二次方程 $3x^2+2ax+b=0$ 的判别式必须大于 0： $\Delta =(2a{)}^2-4(3)(b)=4a^2-12b>0⟹a^2-3b>0$。 故必要性成立。

② 不充分性证明： 若 $a^2-3b>0$，则 $f^{\prime }(x)=0$ 有两个不等实根 $x_1,x_2$（不妨设 $x_1<x_2$），此时 $f(x)$ 存在极大值 $f(x_1)$ 和极小值 $f(x_2)$。 但 $f(x)$ 有三个不同零点的充要条件是极大值大于 0 且极小值小于 0，即 $f(x_1)>0$ 且 $f(x_2)<0$（等价于 $f(x_1)f(x_2)<0$）。 若取特殊值：令 $a=0,b=-1$（满足 $a^2-3b=3>0$），并设 $c=10$， 则 $f(x)=x^3-x+10$，此时 $f^{\prime }(x)=3x^2-1=0⟹x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。 其极值分别为 $f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 和 $f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 均大于 0，方程只有一个实根，没有三个不同零点。 因此，$a^2-3b>0/⟹f(x)$ 有三个不同零点。 综上所述，$a^2-3b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与函数单调性极值、三次函数零点分布、充要条件判定。
2. 核心方法：导数法求极值、极值乘积小于 0 法（或跨越零点法）。
3. 避坑指南：三次函数有三个零点的充要条件是极大值大于 0 且极小值小于 0（即极值异号），切勿只凭判别式 $\Delta >0$ 下结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：历年高考压轴题中函数零点与导数综合运用的经典标杆题。
2. 结论推广：三次函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 有三个不同零点的充要条件可由其极值符号完全确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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