2016-北京卷理-15 解-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理、三角恒等变换（两角和与差的余弦公式、辅助角公式）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$a^2+c^2=b^2+\sqrt{2}ac$.

(1)求 $\angle B$ 的大小；

(2)求 $\sqrt{2}\cos A+\cos C$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求角）：已知条件涉及三边平方关系，直接联想余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。将已知式变形代入即可求出 $\cos B$，进而确定 $B$。
2. 第二问（求最值）：

• 消元：利用 $A+B+C=\pi$ 且已知 $B=\frac{\pi }{4}$，得 $C=\frac{3\pi }{4}-A$。
• 展开：代入待求式 $\sqrt{2}\cos A+\cos C$，利用两角和与差的余弦公式展开。
• 合并：使用辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$ 化为单一名弦函数。
• 定界：根据 $A$ 的取值范围（$0<A<\frac{3\pi }{4}$）确定正弦型函数的最值。

✅【答案】

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（1）∠𝐵=π4.（2）√2cos𝐴+cos𝐶的最大值为1.

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)在 $△ABC$ 中，由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。 因为 $a^2+c^2=b^2+\sqrt{2}ac$， 所以 $a^2+c^2-b^2=\sqrt{2}ac$。 代入得 $\cos B=\frac{\sqrt{2}ac}{2ac}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 由于 $0<B<\pi$， 所以 $B=\frac{\pi }{4}$。

(2)由(1)知 $A+C=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$，即 $C=\frac{3\pi }{4}-A$。 $\sqrt{2}\cos A+\cos C=\sqrt{2}\cos A+\cos \left(\frac{3\pi }{4}-A\right)$ $=\sqrt{2}\cos A+\left(\cos \frac{3\pi }{4}\cos A+\sin \frac{3\pi }{4}\sin A\right)$ $=\sqrt{2}\cos A+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos A+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin A\right)$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos A+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin A$ $=\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)$。

因为 $0<A<\frac{3\pi }{4}$， 所以 $\frac{\pi }{4}<A+\frac{\pi }{4}<\pi$。 当 $A+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，即 $A=\frac{\pi }{4}$ 时，$\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)$ 取得最大值 $1$。 所以 $\sqrt{2}\cos A+\cos C$ 的最大值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式选择：看到三边关系优先考虑余弦定理；看到两角之和为定值优先考虑消元。
• 范围控制：在三角形中求函数最值，必须考虑内角范围约束，否则极易在边界点出错。
• 本题化简后的结果 $\sin (A+\frac{\pi }{4})$ 非常简洁，这是北京卷一贯的风格。如果在化简过程中得到复杂的系数，应反思是否有计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目改为求 $\sqrt{2}\sin A+\sin C$ 的最大值，方法是否一致？
2. 知识关联：本题考查了三角变换的核心功底，与 2017 年浙江卷第 18 题（三角函数性质）在逻辑上有异曲同工之妙。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

专题合集 (Series)