2016-四川卷文-06 单-导数

本题导读

本题考查导数与函数的极值点，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 已知 $a$ 函数 $f(x)=x^3-12x$ 的极小值点，则 $a=$ ()

A. $-4$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 对函数 $f(x)$ 求导，得到导函数 $f^{\prime }(x)$。
2. 令 $f^{\prime }(x)=0$ 求出驻点。
3. 结合导数符号在驻点两侧的变化情况，确定极小值点。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知函数 $f(x)=x^3-12x$，其导函数为： $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得驻点 $x_1=-2,x_2=2$。 列表分析导数符号及单调性：

• 当 $x\in (-\infty ,-2)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增；
• 当 $x\in (-2,2)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减；
• 当 $x\in (2,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。 因此，函数在 $x=2$ 处取得极小值（极小值点为 $2$）。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与函数极值点。
2. 核心方法：导数符号判定法（左减右增为极小值点）。
3. 避坑指南：注意题目问的是“极小值点”（自变量的值 $x$）还是“极小值”（函数值 $f(x)$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考导数基础题。
2. 结论推广：三次函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 的极值点由导函数方程 $3a{x}^2+2bx+c=0$ 的根决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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