2016-四川卷文-09 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的模与几何轨迹、正三角形的性质与中垂线定理，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 已知正三角形 $ABC$ 的边长为 $2\sqrt{3}$，平面 $ABC$ 内的动点 $P,M$ 满足 $|\overrightarrow{AP}|=1$，$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，则 $|\overrightarrow{BM}{|}^2$ 的最大值是 ()

A. $\frac{43}{4}$　　　　B. $\frac{49}{4}$　　　　C. $\frac{37+6\sqrt{3}}{4}$　　　　D. $\frac{37+2\sqrt{33}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析条件 $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$：这意味着点 $M$ 是线段 $PC$ 的中点。
2. 因为点 $P$ 在以 $A$ 为圆心、半径为 1 的圆上运动（$|\overrightarrow{AP}|=1$），点 $M$ 作为 $PC$ 的中点，其轨迹是以 $AC$ 中点为圆心、半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆。
3. 利用平面直角坐标系或向量法，求点 $M$ 到点 $B$ 距离平方的最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

建立平面直角坐标系： 设正三角形 $ABC$ 的边长为 $2\sqrt{3}$。 不妨设顶点 $C(0,0)$，则 $A(2\sqrt{3},0)$ 或根据对称性设顶点坐标： 设 $C(-3,0)$ 等，利用坐标法或几何法： 由 $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$ 知 $M$ 是 $PC$ 的中点。 动点 $P$ 在以 $A$ 为圆心、半径 $R=1$ 的圆上，设 $P$ 的轨迹方程为 $(x-x_A{)}^2+(y-y_A{)}^2=1$。 因为 $M$ 是 $PC$ 的中点，由中点公式可知点 $M$ 的轨迹是一个以 $AC$ 中点 $O^{\prime }$ 为圆心、半径为 $\frac{R}{2}=\frac{1}{2}$ 的圆。 要求 $|\overrightarrow{BM}{|}^2$ 的最大值，即求点 $B$ 到圆 $M$ 轨迹上动点距离平方的最大值。 最大值可表示为 $(|\overrightarrow{B{O}^{\prime }}|+R_M{)}^2$ 或通过向量的最值公式计算。 经过精确的几何计算与坐标代入， $|\overrightarrow{BM}{|}^2$ 的最大值为 $\frac{49}{4}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 向量中点公式、动点轨迹圆、点到点距离最值。
2. 核心方法: 轨迹转化法（将 $M$ 的轨迹转化为以 $AC$ 中点为圆心的小圆）。
3. 避坑指南：明确 $M$ 是 $PC$ 中点时，其轨迹半径是 $P$ 点轨迹半径的一半，切勿直接等同于 $P$ 的半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何与平面向量交汇的压轴选择题。
2. 结论推广: 若 $M$ 是线段 $PC$ 的定比分点且 $P$ 在圆上，则 $M$ 的轨迹也是圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直

专题合集 (Series)