2016-四川卷文-10 单-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线方程、两条直线垂直的斜率关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 设直线 $l_1,l_2$ 分别是函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-\ln x,& 0<x<1,\\ \ln x,& x>1,\end{array}$ 图象上点 $P_1,P_2$ 处的切线，$l_1$ 与 $l_2$ 垂直相交于点 $P$，且 $l_1,l_2$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A,B$，则 $△PAB$ 的面积的取值范围是 ()

A. $(0,1)$　　　　B. $(0,2)$　　　　C. $(0,+\infty )$　　　　D. $(1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 求出函数 $f(x)$ 在各段上的导函数，设出切点 $x_1,x_2$ 处的切线斜率 $k_1,k_2$。
2. 利用两切线垂直得到 $k_1{k}_2=-1$，结合交点 $P$ 的坐标及切线方程求出与 $y$ 轴的交点 $A,B$ 的纵坐标。
3. 利用三角形面积公式表示出 $△PAB$ 的面积，分析其取值范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-\ln x,& 0<x<1,\\ \ln x,& x>1,\end{array}$ 其导函数为 $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{x},& 0<x<1,\\ \frac{1}{x},& x>1.\end{array}$ 设 $l_1$ 的切点为 $P_1(x_1,f(x_1))(0<x_1<1)$，斜率为 $k_1=-\frac{1}{x_1}$； 设 $l_2$ 的切点为 $P_2(x_2,f(x_2))(x_2>1)$，斜率为 $k_2=\frac{1}{x_2}$。 因为 $l_1\perp l_2$，所以 $k_1{k}_2=-1$，即： $\left(-\frac{1}{x_1}\right)\cdot \left(\frac{1}{x_2}\right)=-1⟹x_1{x}_2=1$。 由于 $0<x_1<1$ 且 $x_2>1$，写出两切线方程并求出它们与 $y$ 轴的交点 $A,B$ 的坐标，进而表示出 $△PAB$ 的面积 $S$。 通过极限分析与函数值域计算，可知 $△PAB$ 的面积取值范围是 $(0,1)$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 导数的几何意义、直线垂直关系、三角形面积。
2. 核心方法: 切线方程联立与参数化简法。
3. 避坑指南：注意切点分段函数的定义域限制，确保 $x_1\in (0,1)$ 且 $x_2\in (1,+\infty )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考导数压轴选择题的经典模型。
2. 结论推广: 涉及切线垂直相交的面积最值或范围问题通常转化为切点横坐标乘积为定值来处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III文-21 解-导数综合

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