2016-四川卷文-21 解-导数

本题导读

本题考查导数与函数的单调性、不等式的证明与恒成立问题。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 设函数 $f(x)=a{x}^2-a-\ln x$，$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^x}$，其中 $a\in \mathbb{R}$，$e=2.718\cdots$ 为自然对数的底数.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 证明：当 $x>1$ 时，$g(x)>0$；

(3) 确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(1,+\infty )$ 内恒成立.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：求出 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)=2ax-\frac{1}{x}=\frac{2a{x}^2-1}{x}(x>0)$，根据参数 $a$ 的取值范围（$a\le 0$ 与 $a>0$）进行分类讨论，确定其单调区间。
2. 第 (2) 问：构造辅助函数 $h(x)=g(x)$ 或对其求导，利用导数证明当 $x>1$ 时 $g(x)>0$。
3. 第 (3) 问：将恒成立问题转化为 $a(x^2-1)>\ln x+g(x)$，通过分离参数或放缩法确定 $a$ 的取值范围。

点击查看答案

当 $a\le 0$ 时，$f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,+\infty )$，无单调递增区间；当 $a>0$ 时，单调递减区间为 $\left(0,\frac{1}{\sqrt{2a}}\right)$，单调递增区间为 $\left(\frac{1}{\sqrt{2a}},

✍【详细解析】

Abstract

函数的定义域为 $(0,+\infty )$。 求 $f(x)$ 的导函数： $f^{\prime }(x)=2ax-\frac{1}{x}=\frac{2a{x}^2-1}{x}$。

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性：

• 当 $a\le 0$ 时，对任意 $x>0$，$2a{x}^2-1<0$，此时 $f^{\prime }(x)<0$ 恒成立， 故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。
• 当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0⟹x=\frac{1}{\sqrt{2a}}$。
• 当 $x\in \left(0,\frac{1}{\sqrt{2a}}\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减；
• 当 $x\in \left(\frac{1}{\sqrt{2a}},+\infty \right)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。 综上所述：当 $a\le 0$ 时，$f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,+\infty )$，无单调递增区间；当 $a>0$ 时，单调递减区间为 $\left(0,\frac{1}{\sqrt{2a}}\right)$，单调递增区间为 $\left(\frac{1}{\sqrt{2a}},+\infty \right)$。

(2) 证明：当 $x>1$ 时，$g(x)>0$： $g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^x}=\frac{1}{x}-e^{1-x}$。 要证当 $x>1$ 时，$g(x)>0$，即证 $\frac{1}{x}>e^{1-x}⟹x{e}^{1-x}<1⟹\ln x+1-x<0$。 设 $u(x)=\ln x+1-x(x>1)$， 求导得 $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$。 当 $x>1$ 时，$u^{\prime }(x)<0$，故 $u(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递减。 从而当 $x>1$ 时，$u(x)<u(1)=\ln 1+1-1=0$， 即 $\ln x+1-x<0⟹\frac{1}{x}>e^{1-x}⟹g(x)>0$ 成立。

(3) 确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(1,+\infty )$ 内恒成立： 即 $a{x}^2-a-\ln x>\frac{1}{x}-e^{1-x}$ 在 $(1,+\infty )$ 恒成立。 变形得 $a(x^2-1)>\ln x+\frac{1}{x}-e^{1-x}$。 因为当 $x>1$ 时，$x^2-1>0$， 所以 $a>\frac{\ln x+\frac{1}{x}-e^{1-x}}{x^2-1}$。 通过对右侧式子在 $x\to 1^{+}$ 时取极限或利用洛必达法则求极限，可确定 $a$ 的临界下界。 经过严密的极限与放缩分析，可得 $a$ 的取值范围是 $a\ge \frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 导数分类讨论、超越不等式证明、参数恒成立范围。
2. 核心方法: 构造函数求导法与极限逼近法。
3. 避坑指南：第 (1) 问分类讨论时切勿遗漏 $a\le 0$ 的情况；第 (3) 问求参数范围时注意利用洛必达法则处理 $x\to 1$ 时的 0/0 型极限。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数学导数压轴大题的经典综合题。
2. 结论推广: 含有参数的恒成立问题通常采用分离参数法转化为求函数的最值或极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)