2016-四川卷理-14 填-指数

本题导读

本题考查函数的奇偶性、函数的周期性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的周期为 $2$ 的奇函数，当 $0<x<1$ 时，$f(x)=4^x$，则 $f(-\frac{5}{2})+f(1)=\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解 $f(1)$： 利用奇函数与周期性的结合。 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的函数，则 $f(1)=f(1-2)=f(-1)$。 又因为 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(-1)=-f(1)$。 由此可推出 $f(1)=-f(1)$，进而求出 $f(1)$ 的值。
2. 求解 $f(-\frac{5}{2})$： 利用周期性将自变量转化到靠近原点的区间。 $f(-\frac{5}{2})=f(-\frac{5}{2}+2)=f(-\frac{1}{2})$。 再利用奇偶性转化到已知解析式的区间 $(0,1)$。 $f(-\frac{1}{2})=-f(\frac{1}{2})$。
3. 代入解析式计算： 将 $x=\frac{1}{2}$ 代入 $f(x)=4^x$ 算出结果。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求 $f(1)$ 的值： 因为 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的奇函数， 所以 $f(1)=f(1-2)=f(-1)$。 又因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-1)=-f(1)$。 由 $f(1)=-f(1)$ 得 $2f(1)=0$，即 $f(1)=0$。

2. 求 $f(-\frac{5}{2})$ 的值： 利用周期性：$f(-\frac{5}{2})=f(-\frac{5}{2}+2)=f(-\frac{1}{2})$。 利用奇偶性：$f(-\frac{1}{2})=-f(\frac{1}{2})$。 当 $0<x<1$ 时，$f(x)=4^x$， 所以 $f(\frac{1}{2})=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$。 故 $f(-\frac{5}{2})=-2$。

3. 求和： $f(-\frac{5}{2})+f(1)=-2+0=-2$。

故答案为 $-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 特殊点的函数值：对于周期为 $T$ 的奇函数，若 $x=\frac{T}{2}$ 在定义域内，通常有 $f(\frac{T}{2})=0$。证明过程如上：$f(\frac{T}{2})=f(\frac{T}{2}-T)=f(-\frac{T}{2})=-f(\frac{T}{2})$。

• 转化思想：处理周期函数问题，核心就是“大化小，负化正”，将不在已知区间的自变量通过加减周期的整数倍挪移回去。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为“周期为 $4$ 的奇函数”，则 $f(2)=0$，而 $f(1)$ 则无法直接判断为 $0$，需根据具体解析式计算。
• 关联考点：本题常与“函数在 $x=0$ 处有定义”结合。若奇函数在 $x=0$ 处有定义，则必有 $f(0)=0$。
• 易错警示：注意指数运算 $4^{\frac{1}{2}}$ 不要误算成 $4\times \frac{1}{2}=2$（虽然结果碰巧一样，但逻辑不同，若是 $4^{\frac{1}{3}}$ 就会出错）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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