2016-四川卷理-16 解-统计

本题导读

本题考查频率分布直方图、频率、频数与总体的关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准 $x$（吨）、一位居民的月用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0,0.5),[0.5,1),\dots ,[4,4.5)$ 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中 $a$ 的值；

(2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使 85% 的居民每月的用水量不超过标准 $x$（吨），估计 $x$ 的值，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（参数求解）：利用频率分布直方图的重要性质——所有小矩形的面积之和等于 1。每个小矩形的面积 = 组距（0.5）$\times$ 对应高度。
2. 第二问（总体估计）：先根据直方图计算月均用水量在 $[3,4.5]$ 范围内的总频率（即最后三组面积之和），再用该频率乘以全市总人数（30万）即可。
3. 第三问（分位数估算）：寻找累积频率达到 0.85 的位置。先累加前几个小组的频率，确定 0.85 落在哪个区间内，再利用该区间内的线性比例进行精确计算。

✅【答案】

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（1）𝑎=0.3.（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万.（3）𝑥=2.9吨.

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)由频率分布直方图可知，组距为 $0.5$。 各组矩形的高度分别为：$0.08,0.16,a,0.40,0.52,a,0.12,0.08,0.04$。 所有矩形面积之和为 1： $0.5\times (0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)=1$ $0.5\times (2a+1.40)=1$ $2a+1.40=2⟹2a=0.60⟹a=0.30$。

(2)100 位居民样本中，月均用水量不低于 3 吨的频率为： $P=0.5\times (0.12+0.08+0.04)=0.5\times 0.24=0.12$。 以此估计全市情况，30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为： $300,000\times 0.12=36,000$ 人。

(3)前 5 组的累积频率为： $P_5=0.5\times (0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)=0.5\times 1.46=0.73<0.85$。 前 6 组的累积频率为： $P_6=0.73+0.5\times 0.30=0.73+0.15=0.88>0.85$。 故标准 $x$ 落在第 6 组 $[2.5,3)$ 内。 由 $0.73+0.30\times (x-2.5)=0.85$ $0.30\times (x-2.5)=0.12$ $x-2.5=0.4⟹x=2.9$。 所以，估计月用水量标准为 2.9 吨时，85% 的居民月用水量不超过该标准。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 直方图的关键：纵轴是 $\frac{频率}{组距}$，不是频率本身。一定要养成“高度 $\times$ 组距”的计算习惯。
• 分位数的本质：第(3)问实际上是在求样本的 85% 分位数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若要求样本的众数，通常取最高矩形对应区间的重点值，即 $(2+2.5)/2=2.25$。
• 关联考点：本题可进一步结合概率，如“从全市随机抽取 3 人，求至少有 1 人用水量超过 3 吨的概率”。
• 实际意义：通过数据确定收费阶梯，体现了数学在社会管理和资源配置中的实际应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-03 单-统计图表
• 2017-全国卷III理-03 单-统计图表
• 2017-全国卷I文-02 单-统计特征

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