2016-天津卷文-05 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查不等式的性质与绝对值不等式、充分条件与必要条件的判定，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 设 $x>0,y\in \mathbb{R}$，则“$x>y$”是“$x>|y|$”的 ()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性：若 $x>y$，能否推出 $x>|y|$？举反例验证（例如 $x=1,y=-2$，满足 $1>-2$，但 $1>|-2|$ 不成立）。
2. 分析必要性：若 $x>|y|$，根据绝对值性质可知 $-y<|y|<x$ 且 $y<|y|<x$，必然能推出 $x>y$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设条件 $p:x>y$，条件 $q:x>|y|$。

• 充分性：若取 $x=1,y=-2$，满足 $x>y$（即 $1>-2$），但 $|y|=2$，此时 $1>|-2|$ 不成立（即 $x>|y|$ 不成立），故充分性不成立。
• 必要性：若 $x>|y|$，因为对任意实数 $y$ 都有 $y\le |y|$，所以由 $x>|y|\ge y$ 可得 $x>y$ 恒成立，故必要性成立。 因此，“$x>y$”是“$x>|y|$”的必要而不充分条件。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式、充要条件。
2. 核心方法：反例排除法与不等式放大缩小法。
3. 避坑指南：证明充分性时注意举反例要全面，尤其是负数情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考逻辑用语常规选择题。
2. 结论推广：$x>|y|⟺-y<x\text{ 且 }y<x$，它比单纯的 $x>y$ 条件更强。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式
• 2017-全国卷III理-23 解-绝对值不等式

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