2016-天津卷文-06 单-不等式

本题导读

本题考查函数的奇偶性与单调性、抽象函数的不等式求解，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且在区间 $(-\infty ,0)$ 上单调递增.若实数 $a$ 满足 $f(2^{|a-1|})>f(-\sqrt{2})$，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$　　B. $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$　　C. $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$　　D. $\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用偶函数的性质将 $f(-\sqrt{2})$ 转化为 $f(\sqrt{2})$。
2. 根据 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增及偶函数在 $(0,+\infty )$ 上单调递减的性质，将不等式转化为自变量绝对值大小关系的不等式。
3. 解指数不等式求出参数 $a$ 的范围。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，所以 $f(-\sqrt{2})=f(\sqrt{2})$。 不等式 $f(2^{|a-1|})>f(-\sqrt{2})$ 可化为： $f(2^{|a-1|})>f(\sqrt{2})$。 两边同时作用绝对值： 因为 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增，且为偶函数，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，且函数值大小取决于自变量绝对值的大小（自变量绝对值越小，函数值越大）。 所以原不等式等价于： $2^{|a-1|}<\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$。 因为底数 $2>1$，指数函数单调递增，故： $|a-1|<\frac{1}{2}$。 化简绝对值不等式： $-\frac{1}{2}<a-1<\frac{1}{2}⟹\frac{1}{2}<a<\frac{3}{2}$。 故 $a$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性与单调性综合、绝对值与指数不等式。
2. 核心方法：利用对称性转化自变量到同一单调区间。
3. 避坑指南：偶函数在对称区间上的单调性相反，切勿直接去掉函数符号而不改变单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数性质综合经典题。
2. 结论推广：若偶函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 单调递增，则 $f(x_1)>f(x_2)⟺|x_1|<|x_2|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)