2016-天津卷文-10 填-导数

本题导读

本题考查导数的乘法法则与指数函数求导、导数的几何意义（特定点处的导数值），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=(2x+1){\mathrm{e}}^x$，$f^{\prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则 $f^{\prime }(0)$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用两个函数乘积的求导法则求出导函数 $f^{\prime }(x)$ 的解析式。
2. 将 $x=0$ 代入导函数中计算出 $f^{\prime }(0)$ 的值。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $f(x)=(2x+1){\mathrm{e}}^x$， 根据导数的乘法法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$： $f^{\prime }(x)=(2x+1{)}^{\prime }{\mathrm{e}}^x+(2x+1)({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }$ $f^{\prime }(x)=2{\mathrm{e}}^x+(2x+1){\mathrm{e}}^x=(2x+3){\mathrm{e}}^x$。 将 $x=0$ 代入导函数： $f^{\prime }(0)=(2\times 0+3){\mathrm{e}}^0=3\times 1=3$。 故答案为 $3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 乘积求导法则、指数函数求导。
2. 核心方法: 先求导后代值法。
3. 避坑指南：求导时注意不要漏掉各项，计算 ${\mathrm{e}}^0=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考导数基础计算题。
2. 结论推广: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 是各类导数计算的基础。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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